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Komplementärraum

Universität / Fachhochschule

11:20 Uhr, 19.01.2016

U

ist Untervektorraum von

Q [X] 3

U := ({1 + 4 x + 7 x^{2} + 10 x^{3}, 2 + 5 x + 8 x^{2} + 11 x^{3}, 3 + 6 x + 9 x^{2} + 6 x^{3}, 4 + 7 x + 10 x^{2} + 13 x^{3}})

Basis von

U

soll bestimmt werden und ein Komplementärraum zu

U \in Q [X] 3

gefunden werden , Angabe durch Basis.

Die Basis von

U

ist

Z := {1 + x + 7 x^{2} + 10 x^{3}, - 3 x - 6 x^{2} - 9 x^{3}, - 6 x^{3}}

.
Ein Komplementärraum

W

ist ja auch Untervektorraum , sodass gilt

: W + Z = Q [X] 3,

wobei

W

Schnitt

Z = {0}

.

Hätte ich mit

W = {1, x, x^{2}}

einen solchen Komplementärraum gefunden ?

11:26 Uhr, 19.01.2016

W

passt schon deshalb nicht, weil er die falsche Dimension hat.
Dimension des Komplements ist Gesamtdimesion - Dimension des Unterraumes.

11:36 Uhr, 19.01.2016

müsste also dann eindimensional sein , also wäre

{1}

ein solches

W

. Wie kann man erklären , dass

dim (Q [X] 3) - dim (U) = dim (W)

gilt ?

11:49 Uhr, 19.01.2016

Wenn

U

eine Basis

v_{1}, v_{2}, v_{3}

hat und

W

eine Basis

w

, dann ist

v_{1}, v_{2}, v_{3}, w

eine Basis des Gesamtraumes.

1

würde passen, wenn

1

nicht in

U

liegt. Kannst Du das nachweisen?

11:51 Uhr, 19.01.2016

Wenn

Z

Basis ist und

W

ein Unterraum, dann ist

W + Z

sinnlos. Man kann nicht einen Unterraum und eine Basis addieren, nur zwei Unterräume.

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