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Komplemente von Unterraum bestimmen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: kanonische Basis, Komplement, Unterraum, Vektorraum

oklmeer

12:57 Uhr, 15.11.2010

Hallo! Ich habe ein Verständnisproblem bei folgendem Beispiel:

Ein Unterraum

U \subset ℝ^{4 x 1}

sei die Hülle von

{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}

Jetzt sollen alle Komplemente von

U

bestimmt werden, die durch Vektoren der kanonischen Basis von

ℝ^{4 x 1}

aufgespannt werden.

eine Lösung lautet:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Kann mir jemand erklären wie ich da draufkomme? Ich nehm die 2 gegebenen Vektoren und 2 Vektoren der kanonischen Basis und wie mach ich dann weiter, dass ich auf die Lösung komme? Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte!!

oklmeer

17:08 Uhr, 16.11.2010

Kann mir denn niemand sagen, was ich tun muss, damit ich auf diese Lösungen komme?? Wäre echt super, wenn ich das verstehen könnte!!

Sina86

17:13 Uhr, 16.11.2010

Hi,

der

ℝ^{4}

(warum schreibst du eigentlich immer

ℝ^{4 x 1} ?

) hat die Dimension 4. Du hast einen Unterraum U gegeben, zusammen mit einer Basis gegeben. Dieser Unterraum hat Dimension 2. Jetzt ist die Frage, mit welchen Vektoren der Einheitsbasis kann man nun die Basis von U zu einer Basis von

ℝ^{4}

ergänzen? Die beiden Vektoren, die man dann hinzufügt, spannen dann ein mögliches Komplement von U auf.

Die Frage ist also, welche kanonischen Basisvektoren sind also von den Basisvektoren von U linear unabhängig?

Lieben Gruß
Sina

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