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Komplex differenzierbar und Stetigkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Funktionentheorie, Komplexe Analysis
 
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Hi, wie ist denn das im komplexen. Folgt dort aus Stetigkeit komplexe Differenzierbarkeit ?? Oder ist das lediglich umgekehrt der Fall ?? Gruß, MrJegger |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, nur umgekehrt. Ist die Funktion aber die Ableitung einer anderen, so ist sie dann auch differenzierbar. Alternativ müsste das Wegintegral über einen/jeden geschlossenen und zusammenziehbaren Weg verschwinden. Viele Grüße Michael |
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Naja also mit ist doch überall außer bei 0 analytisch. Trotzdem ist das integral um den Nullpunkt . Also kann ich ja nicht sagen, dass das kreisintegral bei allen analytischen Funktionen verschwindet. Nur wenn ich nicht um die Unstetigkeitsstellen drumrum integriere (Sterngebiet), dann bekomme ich eine 0 beim Integrieren raus. Im Fall verbindet man üblicherweise 0 mit . Jetzt sind bei gebrochen rationalen Funktionen alle Unstetigkeitsstellen doch die Nullstellen des Nennerpolynoms... (Polynome sind stetig und kompex differenzierbar) Wenn ich also prüfen möchte ob ein Kreisintegral verschwindet, berechne ich die Pole und schau ob das Kreisintegral einen Pol umschließt. Warum benötigt man überhaupt die Cauchy Rimemannschen Differentialgleichungen ?? Es müsste doch reichen zu sagen, dass das Wegintegral dessen aufgespannte Fläche keine Unstetigkeitsstellen beinhaltet bei komplexen Funktionen immer null wird. Oder ?? |
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Okay, also es ist tatsächlich so. Aus stetigkeit folgt komplexe Differenzierbarkeit. Gruß, MrJegger |
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Hallo, bei deinem Beispiel ist der Weg nicht zusammenziehbar. Ein einfaches Gegenbeispiel zu deiner Behauptung ist die komplexe Konjugation. Überfall stetig aber nirgends diffbar. So, und nu Feierabend. MFG Michael |
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Stimmt Du hast Recht. Gleichbedeutend ist: 1.) Die Funktion ist stetig und das Integral um jeden Dreiecksweg dessen Fläche ganz in D enthalten ist verschwidet. und 2.) Die Funktion ist analytisch. Beim konjungiert komplexen ist der zweite Teil von 1.) nicht gegeben. Dort gilt: Für gebrochenrationale Funktionen würde aber gelten: Gleichbedeutend ist: 1.) Die Funktion ist stetig in D. 2.) Die Funktion ist analytisch in D. (Typisch Regelungstechnik) ?? Wenn ich mich also auf gebrochenrationale Funktionen beschränke, dann kann ich mit meinen Polen kommen denke ich =) |
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