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Komplex hoch Komplex, wie berechnet man das?

Schüler

Tags: Komplexe Zahlen, Potenz

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12:13 Uhr, 25.09.2022

Seien

a, b \in ℂ \land ℑ b \neq 0

. Was ist dann

a^{b}

?

Euler gern gesehen.

Danke!

PS:

a^{x}

mit

a \in ℂ \land x \in ℝ

hab ich schon verstanden, aber weiter hakt es dann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

12:30 Uhr, 25.09.2022

Kannst du mit

a^{i}

etwas anfangen ?

(a \in ℝ, a > 0)

Roman-22

12:38 Uhr, 25.09.2022

Sei

z_{1} = a + b \cdot i = r \cdot e^{i \cdot φ} = r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)}

mit

k \in ℤ

und

z_{2} = c + d \cdot i

Dann ist

z_{1}^{z_{2}} = {(r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)})}^{c + d \cdot i} = r^{c} \cdot r^{d \cdot i} \cdot e^{c \cdot i \cdot (φ + k \cdot 2 π)} \cdot e^{- d \cdot (φ + k \cdot 2 π)} = (⋆)

der erste und der letzte Faktor sind normale reelle Zahlen (wegen

k \in ℤ

gibts halt unendlich viele Ergebnisse)
der zweite Faktor kann als

{(e^{ln r})}^{i} = e^{i \cdot ln r}

umgeschrieben werden und somit sind der zweite und auch der dritte Faktor komplexe Zahlen mit Betrag

1

in Exponentialdarstellung
Fassen wir also ersten und letzten sowie die mittleren beiden Faktoren jeweils zusammen, erhalten wir

(⋆) = [r^{c} \cdot e^{- d \cdot (φ + k \cdot 2 π)}] \cdot e^{i \cdot (ln r + c \cdot (φ + k \cdot 2 π))}

Das ist aber nun die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl mit dem Betrag

r^{c} \cdot e^{- d \cdot (φ + k \cdot 2 π)} = e^{c \cdot ln r - d \cdot (φ + k \cdot 2 π)}

und der Phase (Argument, "Winkel")

ln r + c \cdot (φ + k \cdot 2 π))

Wegen dem

k \in ℤ

gibt es unendlich viele Ergebniszahlen, aber das ist ja bei

ℂ^{ℝ}

(also wie eben gezeigt aber mit

d = 0)

auch bereits so

Falls dir das im ersten Anlauf zu unübersichtlich wegen des Mitschleppens der Vielfachheit der Phase von

z_{1} (... + k \cdot 2 π)

ist, kannst du dir sie Sache ja einmal nur für den Hauptwert

(k = 0)

überlegen und aufschreiben und evt. an einem konkreten Zahlenbeispiel durchrechnen.

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12:42 Uhr, 25.09.2022

Ich versuche es mal...

a^{i} = e^{i} \cdot (\frac{a}{e})^{i} \land e^{i} = \cos 1 + i \cdot \sin 1

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12:46 Uhr, 25.09.2022

Danke @Roman, für die komplette Antwort, aber da ich es ja selbst verstehen will, taste ich mich mal langsam ran. Das mit dem Rotieren um 2pi ist mir schon klar, das macht mir keine Sorgen. Ist so ein bisschen wie das C in ner Aufleitung, braucht dann halt Randbedindungen, wenn das eine Rolle spielen soll, ansonsten phi = [0; 2pi[.

Respon

12:47 Uhr, 25.09.2022

a^{i} = e^{ln (a^{i})} = e^{i \cdot ln (a)} = cos (ln (a)) + i \cdot sin (ln (a))

Das ist schließlich das "Kernproblem".

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12:59 Uhr, 25.09.2022

Jaa, @respon, bis hierhin komme ich noch mit. Das verstehe ich. Aber es bleibt

a \in ℂ

. Da steht also was von

\ln (ℜ a + i \cdot ℑ a) .

Respon

13:04 Uhr, 25.09.2022

Wenn du

{(a + i \cdot b)}^{c + i \cdot d}

umformst, dann kommst du irgendwann zu einem Term der Gestalt

{(x + i \cdot y)}^{i}

{(x + i \cdot y)}^{i} = {(r \cdot e^{i \cdot φ})}^{i} = r^{i} \cdot e^{- φ}

Es geht also im Prinzip um das

r^{i}

(r \in ℝ, r > 0)

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13:07 Uhr, 25.09.2022

Das geht bestimmt prima, aber wo sind die c und d geblieben? Ich kann natürlich auch den Exponenten in Euler umformen, aber dann hab ich immer noch nen wirren Exponenten...

Roman-22

13:10 Uhr, 25.09.2022

>

Da steht also was von ln(ℜa+i⋅ℑa).
Wenn du bei Respon von

a \in ℂ

und nicht von

a \in ℝ

ausgehst, dann ja. Respon hat aber dann noch

a \in ℝ

ergänzt.
Aber wei auch immer, der natürliche Logarithmus aus einer komplexen Zahl ist im Grunde recht einfach, aber eben auch nicht eindeutig, sondern hat unendlich viele Ergebnisse.

Sei

z = a + i \cdot b = r \cdot e^{i \cdot φ} = r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)}

mit

k \in ℤ

und

a, b \in ℝ

Dann ist

ln (z) = ln (r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)}) = ln r + i \cdot (φ + k \cdot 2 π)

Das sind nun unendlich viele komplexe Zahlen in Komponentenschreibweise, die alle den Realteil

ln r

haben und deren Imaginärteile sich um ganzzahlige Vielfache von

2 π

unterscheiden.
Da hier aus dem Winkel

φ

der Imaginärteil wird, ist es unabdingbar, dass

φ

im Bogenmaß zu verwenden ist.

P . S . : ℂ^{ℂ}

und auch

ln (ℂ),

aber ohne Berücksichtigung der Vielfachheit der Ergebnisse, findest du auch bei Tante Wiki
de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Potenzieren
de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Logarithmus_2

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13:14 Uhr, 25.09.2022

Wenn ich k := 0 setze, erübrigt sich das ganze Gedrehe ja eh, da

k \in ℤ

. Für die feine Mathematikerklinge mag das essenziell sein, aber zum Verständnis setze ich irgendein Produkt gerne Null, bis ich es kapiert habe ^^

Roman-22

13:17 Uhr, 25.09.2022

Genau das hatte ich ja vorgeschlagen, dass du zunächst nur mit dem Hauptwert (im Wesentlichen also mit

k = 0)

dir die Sache überlegst, damit es ein bisschen weniger "komplex" (nicht im Sinne von

ℂ)

wird.

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13:18 Uhr, 25.09.2022

Aber was ist denn jetzt

\cos (\ln r + i φ)

Roman-22

13:21 Uhr, 25.09.2022

>

Aber was ist denn jetzt cos(lnr+iφ)?
Wo hast du diesen Term denn her?
Generell würde ich nicht empfehlen, hier die Polardarstellung mit sin und

cos

oder cis zu verwenden, sondern eben wie gezeigt die Exponentialdarstellung. Aber der Term, nach dem du jetzt frägst, kommt doch weder bei mir noch bei Respon vor, oder?

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13:38 Uhr, 25.09.2022

Das war Unsinn, sorry. Also kurz

\cos (r \cdot e^{i φ})

Roman-22

13:53 Uhr, 25.09.2022

Und wofür benötigst du das nun wieder, also den Kosinus einer allgemeinen komplexen Zahl?
Ich glaube nicht, dass du nach

ℂ^{ℂ}

und

ln (ℂ)

jetzt auch noch etwas über

cos (ℂ)

wissen möchtest.

Generell ist das mit den Funktionen im Komplexen ja nicht immer so einfach. Wie oben gezeigt ist

ln (z)

mit

z \in ℂ

ja nicht eindeutig, was damit zu tun hat, dass die Exponentialfunktion in

ℂ

nicht injektiv ist und damit keine eindeutige Umkehrung hat. Man geht dann gerne so vor wie auch schon in der Schule bei sin oder dem Quadrieren. Damit man doch noch eine Umkehrfunktion erhält schränkt man die Funktion einfach ein. ZB

sin (x)

auf Argumente im Bereich

[- π; π]

dann ist die Umkerung eindeutig und man kann arcsin als Umkehrfunktion definieren.
Ähnlich geht man in

ℂ

zB auch bei der Logarithmusfunktion vor. Man schränkt die Argumente der Expoentnialfunktion

f (z) = e^{z}

mit

z = a + i \cdot b

auf

- π < b \leq π

ein und kann dann eine eindeutige Umkehrung, den komplexen Logarithmus, definieren. Der große Pferdefuß dabei ist, dass der so definierte komplexe Logarithmus Unstetigkeiten bei den negativen reellen aufweist.
Du kannst ein wenig zum komplexen Logarithmus und der Riemannschen Fläche ja auch bei Wiki nachlesen

\to

de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus

Die Problematik mit der komplexen Log Funktion ist

i . W

. auch der Grund dafür, warum das Potenzieren in

ℂ

nicht so einfach ist (auch nicht so einfach wie von mir oben dargestellt ;-)
Es gelten in

ℂ

nicht mehr uneingeschränkt alle Potenzgesetze wie man sie aus

ℝ

gewohnt ist, weswegen man das Potenzieren von

w^{z}

oft nur einschränkt auf

w > 0 \land z \in ℂ, w = 0 \land b \geq 0

und

w \in ℂ \ {0} \land z \in ℤ

Damit sind wir dann auch schon wieder bei deiner Initalfrage, die halt keineswegs trivialer Natur ist ;-)

HAL9000

15:39 Uhr, 26.09.2022

In Ergänzung (oder Kontrast ?) zu Roman-22 kenne ich es so, dass im Falle wenn mit

z_{1}^{z_{2}}

wirklich nur ein Wert gemeint ist, dies dann wirklich nur der Hauptwert ist, d.h., der für

k = 0

. Dazu ist dann auch zwingend vorgeschrieben, dass der Argumentwinkel

φ

im Standardintervall

(- π, π]

liegt. Warum auch nicht - im Reellen kennzeichnet Symbolik

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

für

a > 0

schließlich auch nur eine der beiden reellen Lösungen der Gleichung

x^{2} = a

statt zugleich alle beide.

Beispiel:

{(- 8)}^{\frac{1}{3}} = {(8 \cdot e^{i π})}^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} \cdot e^{i \frac{π}{3}} = 2 \cdot (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) = 1 + i \sqrt{3}

Das mag manchen überraschen, der vom reellen her gewohnt eher

{(- 8)}^{\frac{1}{3}} \overset{?}{=} - 2

sagen würde - ist aber so, wenn man streng nach Hauptwert des Logarithmus geht.

z = - 2

ist sicher eine der drei komplexen Lösungen der Gleichung

z^{3} = - 8

, aber eben nicht der Hauptwert der dritten Wurzel.

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