Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Komplexadjungierte Matrix invertieren?

Komplexadjungierte Matrix invertieren?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: adjungierte Matrix, komplexe Matrix, Matrizenrechnung, Realteil Imaginärteil

PeterMaffay aktiv_icon

10:28 Uhr, 11.02.2014

Hallo zusammen,

ich hab zwei Fragen, also eine Korrekturbitte und eine Frage, zum Rechnen mit komplexen Matrizen.

Zum einen sollte ich überprüfen, dass bei folgender Gleichung genau eine Hermitesche Matrix H sowie K existiert, die ich auch kurz definiere:

$A = H + i K w o b e i H, K \in ℂ^{p x p} u n d H = Re A = \frac{1}{2} (A + A *) K = I m A = \frac{1}{2 i} (A - A *)$

Nun hab ich H und K in die oberste Gleichung eingesetzt und erhalte dann, weil H, K hermitesch sind, dass A=A ist und bin damit durch oder? Hoffe ich habs mir nicht zu leicht gemacht :S

2. Hier stehe ich ein büschen aufm Schlauch.

$A \in ℂ^{p x p}$ soll invertierbar sein.

Dann soll ich zeigen: $Re (A^{- 1}) = A^{- 1} \cdot (Re A) \cdot {(A^{- 1})}^{*}$ und das ganze dann auch nochmal für den Imaginärteil.

Hier hab ich jetzt für ReA einfach mal die aus 1. gegebene Definition eingesetzt und das ganze umgeformt. Das kam dabei raus:

$Re (A^{- 1}) = \frac{1}{2} A^{- 1} A {(A^{- 1})}^{*} + \frac{1}{2} A^{- 1} A^{*} {(A^{- 1})}^{*}$

Im ersten Summanden sehe kann ich ja die Einheitsmatrix erkennen, also ergibt sich schonmal $\frac{1}{2} {(A^{- 1})}^{*}$ , was die Hälfte von dem ist, was ich erreichen wollte :)

Jetzt kommt mein großes Fragezeichen.

Aus $\frac{1}{2} A^{- 1} A^{*} {(A^{- 1})}^{*}$ . Kann ich die beiden hinteren Faktoren ebenso einfach in eine Einheitsmatrix umformen? Denn dann hätte ich ja alles, was ich brauch und bin fertig :)

Soweit erstmal. Danke fürs Durchlesen und vielleicht Helfen :)

Peter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:55 Uhr, 11.02.2014

Hallo,

wenn ich es richtig sehe, hast Du bei

a)

zwar die Existenz der Zerlegung, aber nicht die Eindeutigkeit gezeigt.

Bei

b)

kann ich die Umformung zwar nicht direkt erkennen, aber die benötigte Beziehung

A^{⋆} {(A^{- 1})}^{⋆} = I

gilt.

Gruß pwm

PeterMaffay aktiv_icon

11:14 Uhr, 11.02.2014

Hey pwm,

danke fürs drüberschauen.

Die Umformung war mir zu lang für den Formeleditor, daher hier nur die Kurzfassung gewesen :) Aber wenn das so gilt, dann bin ich ja froh. Ich schau jetzt nochmal, ob das auch analog für den Imaginärteil geht.

Zu 1.

Das ist ja schonmal etwas. Nur wie zeige ich die Eindeutigkeit. Ich sehe jedenfalls, dass die Aufgabe auch nach genau einem H und K sucht :)

Nur wie zeige ich das?

Ist nicht eigentlich logisch, dass das ganze für K zumindest nur dann funktioniert, wenn K = 0 ist? Da wir aber ja nicht die 0-Matrix verwenden wollen, es dann nur die eine Lösung geben kann?

EDIT:

Zu 2.:

Ist es egal, ob ich eine Matrix zuerst invertiere und dann konjugiere oder umgekehrt oder ist das dann nicht dasselbe?

Mit anderen Worten: ${(A^{- 1})}^{*} = {(A^{*})}^{- 1}$ ?

denn dann ist der Beweis zum Imaginärteil für mich jetzt auch geklärt :)

Bummerang

12:40 Uhr, 11.02.2014

Hallo,

"Ist es egal, ob ich eine Matrix zuerst invertiere und dann konjugiere oder umgekehrt oder ist das dann nicht dasselbe?"

Sei A eine komplexe Matrix und

A^{⋆}

ihre komplexadjungierte Matrix. Dann kann man A und

A^{⋆}

zerlegen in reelle Matrizen, so dass gilt:

A = R_{A} + i \cdot I_{A}

A^{⋆} = R_{A} - i \cdot I_{A}

Des weiteren sei

B := A^{- 1}

ebenfalls zerlegt in

B = R_{B} + i \cdot I_{B}

Dann gilt wegen

A \cdot A^{- 1} = A \cdot B = E :

(R_{A} + i \cdot I_{A}) \cdot (R_{B} + i \cdot I_{B}) = R_{A} \cdot R_{B} + i \cdot R_{A} \cdot I_{B} + i \cdot I_{A} \cdot R_{B} - I_{A} \cdot I_{B} = (R_{A} \cdot R_{B} - I_{A} \cdot I_{B}) + i \cdot (R_{A} \cdot I_{B} + I_{A} \cdot R_{B}) = E + i \cdot 0

Demzufolge ist:

R_{A} \cdot R_{B} - I_{A} \cdot I_{B} = E

R_{A} \cdot I_{B} + I_{A} \cdot R_{B} = 0

Ich betrachte nunmehr

B^{⋆} := R_{B} - i \cdot I_{B}

und bilde

A^{⋆} \cdot B^{⋆}

(R_{A} - i \cdot I_{A}) \cdot (R_{B} - i \cdot I_{B}) = R_{A} \cdot R_{B} - i \cdot R_{A} \cdot I_{B} - i \cdot I_{A} \cdot R_{B} - I_{A} \cdot I_{B} = (R_{A} \cdot R_{B} - I_{A} \cdot I_{B}) - i \cdot (R_{A} \cdot I_{B} + I_{A} \cdot R_{B}) = E - i \cdot 0

Damit ist die komplexadjungierte der Inversen zu A gleichzeitig die Inverse der komplexadjungierten zu A.

PeterMaffay aktiv_icon

12:47 Uhr, 11.02.2014

Hey Bummerang,

vielen Dank für die ausführliche Antwort :-)
Ich brauche sicherlich nicht den Beweis in der Aufgabe widergeben, aber nun verstehe ich, warum das gilt, danke dafür!

Kann mir jetzt noch jemand einen Stupser für die Eindeutigkeit in der ersten Aufgabe geben? Das wäre großartig!

Liebe Grüße
Peter

pwmeyer aktiv_icon

13:26 Uhr, 12.02.2014

Hallo,

nimm mal an, es gibt eine solche Zerlegung und bilde dann