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Komplexe Betragsungleichungen mit Falluntersch.

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

wohram aktiv_icon

15:57 Uhr, 19.07.2018

Mir ist noch völlig unklar, wann ich im komplexen Zahlenraum beim Lösen von Ungleichungen eine Fallunterscheidung machen muss. Ich habe verstanden, dass bei Beträgen durch die Definition im komplexen Zahlenraum keine Fallunterscheidung mehr notwendig ist.

Als Verdeutlichung folgende Aufgabe:

Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge der komplexen Zahlen

z = a +

bi, die der Ungleichung Rez

+

Imz

< | z |

genügen.

Hier wird folgende Fallunterscheidung gemacht:

1. Fall:

a + b \geq 0

und 2. Fall

a + b < 0 \Leftrightarrow b < - a

Wieso muss diese hier gemacht werden und wieso forme ich nur beim 2. Fall nach

b

um und erhalte

b < - a

und nicht im 1. Fall? Dort könnte ich doch auch nach

b

umformen und würde

b \geq - a

erhalten?

Wieso wird nur im 1. Fall die Betragsungleichung aufgelöst? Das Gleiche könnte ich doch auch im 2. Fall tun?

a + b < | z | \Leftrightarrow

a + b < \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Leftrightarrow

{(a + b)}^{2} < a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow

a^{2} +

2ab

+ b^{2} < a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow a \cdot b < 0 \to a < 0

und

b > 0

oder

a > 0

und

b < 0

Den Rechenweg an sich verstehe ich und auch die Schlussfolgerung für a und

b

zum Schluss.

Besten Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

16:20 Uhr, 19.07.2018

Hallo
wegen

| z | \geq 0 k

ist die Ungleichung für negative linke seite, also

a + b < 0

immer erfüllt.
die zweite Rechnug für

a + b > 0

hast du ja verstanden.
Gruß ledum

wohram aktiv_icon

16:45 Uhr, 19.07.2018

Vielen Dank für die Antwort. Ja mag sein, allerdings verstehe ich nach wie vor nicht, warum ich eine Fallunterscheidung machen muss, warum ich bspw. nicht im 1. Fall einfach nach

b

umstellen kann und wieso ich den Rechenweg bis zu ab

< 0

nicht im 2. Fall machen muss

: (

(Bin nur BWL-Student, deswegen bitte ich um möglichst einfache Antworten)
Gruß

ledum aktiv_icon

18:23 Uhr, 19.07.2018

Hallo
im 2 ten Fall

a + b < 0

ist ja nichts zu rechnen ob du das nach

b

umstellen. also

b < - a

schreiben willst ist dir überlassen.
im ersten Fall

a + b > 0

muss man rechnen um auf ab<0 zu kommen. deshalb versteh ich deine Frage nicht.
gruß ledum

rundblick aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.07.2018

z = a + b \cdot i

Aufgabe: für welche

z \in ℂ

gilt die Ungleichung

\to | z | > a + b

1)

du hast gerechnet->

{[\sqrt{a^{2} + b^{2}}]}^{2} \geq {(a + b)}^{2} .

\Rightarrow . .

0 \geq a \cdot b

Deutung des Ergebnisses : da das Produkt

a \cdot b

hier also negativ ist,
müssen a und

b

verschiedene Vorzeichen haben..
Solche Punkte

z = a + b \cdot i

liegen im ZWEITEN oder im VIERTEN Quadranten der GaussEbene

ℂ

2)

aber ist das dann schon alles?
nun:

\to

es gilt

| z | \geq 0 ... . .

. da ja nach Definition Beträge immer

\geq 0

sind (

.

. also nie negativ)

deshalb ist die Ungleichung

\to | z | > a + b . .

. schonmal IMMER dann erfüllt, wenn

a + b

negativ ist,
also garantiert dann, wenn a UND

b

negativ sind..
(nebenbei: dann ist ja

a \cdot b > 0!!

und nicht wie oben herausgefunden ab<0)
Solche Punkte

z = a + b \cdot i

mit

0 > a

UND

0 > b

liegen im DRITTEN Quadranten der GaussEbene

ℂ

3)

bleibt dir nur noch herauszufinden, ob oder warum nicht auch Lösungspunkte

z

im ersten
Quadranten von

ℂ

liegen

...

\to . .

.
.

wohram aktiv_icon

19:51 Uhr, 19.07.2018

Also nochmal

: \land

Wenn ich im 1. Fall

a + b \geq 0

nach

b

umstelle, erhalte ich

b \geq - a

. Das wurde hier aber nicht gemacht. Wenn ich umstelle und

b \geq - a

grafisch darstelle, erhalte ich als Lösungsmenge ja auch den 1. Quadranten. Wieso zählt der jedoch nicht dazu?

Um auf

a \cdot b < 0

zu kommen, muss man rechnen, das verstehe ich! :-D) Diese Rechnung hätte ich doch aber auch im Fall

a + b < 0

machen können oder wieso wird das hier nicht gemacht?

rundblick aktiv_icon

20:18 Uhr, 19.07.2018

.
" hätte ich doch aber auch im Fall

a + b < 0

machen können oder wieso wird das hier nicht gemacht?"

Mann - immer noch nicht kapiert ?

\Rightarrow

wenn

c = (a + b)

..KLEINER NULL, dann ist

c = (a + b)

..NEGATIV

!!

und da

| z |

immer POSITV , ist garantiert immer

\to | z | \geq 0 > c .

. also ..

| z | > c

Fertig ! DA GIBT ES DANN NICHTS MEHR ZU "MACHEN" ..

" 1. Quadranten. Wieso zählt der jedoch nicht dazu? "

Vorschlag: mach dir das zB mit der DreiecksUngleichung für die drei Seiten

| z |, a, b . .

. im Rechtwinkligen Dreieck im ersten Quadranten klar.

.

wohram aktiv_icon

20:31 Uhr, 19.07.2018

Anhand der Dreiecksungleichung wird mir das sicherlich nicht klar :-D)

Der 1. Quadrant zählt nicht zur Lösungsmenge, obwohl ich aus dem 1. Fall

a + b \geq 0

nach umstellen

b \geq - a

erhalte. Skizziere ich entsprechend, werden Teile des 2. und 4. Quadranten sowie der komplette 1. Quadrant als Lösungsmenge angesprochen. Wieso ist dieser Schritt falsch? Als Lösungsmenge wird nämlich alles außer der 1. Quadrant angegeben!

rundblick aktiv_icon

21:05 Uhr, 19.07.2018

.
"Als Lösungsmenge wird nämlich alles außer der 1. Quadrant angegeben!"

ja, und falls du es verpasst hast:

19 : 29

Uhr,

19.07.2018

da steht doch genau das alles erklärt - versuche halt langsam zu lesen und mitzudenken ..

"Anhand der Dreiecksungleichung wird mir das sicherlich nicht klar"

im 1.Quaranten gehören zu den Katheten a und

b

positive Zahlen und deren Summe
ist dann grösser als die Hypotenuse

| z | . .

. dh ..

a + b > | z | .

. und nicht..

a + b < | z |

im 2. und 4. gehören zu a und

b

eine positive und eine negative Zahl, deren Summe

a + b

ist dann kleiner als die Summe der Seitenlängen

| a | + | b |

des Dreiecks,
also kann da nicht mehr mit der Dreiecksungleichung argumentiet werden wie bei 1.

.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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