Komplexe Eigenwerte

Hallo,

wenn man ${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2& -1\\ 1& -\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 1\\ 3& 0& -3-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$ nach der 2. Spalte entwickelt erhält man:

${\displaystyle (-2)\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -3-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -1\\ 3& -3-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$

und das gibt ein Polynom 3. Grades.

Gruß Yokozuna

Hallo,

also das charakteristische Polynom ${\displaystyle -{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+12=0}$ habe ich auch. Die erste Lösung ist ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=2}$. Jetzt teilt man das charakteristische Polynom durch ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}$ und erhält ein quadratisches Polynom, das man ganz normal auflöst. Ich habe die beiden konjugiert komplexen Nullstellen ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{2,3}=-2\pm \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \sqrt{2}}$ gefunden.

Um die Eigenvektoren zu bekommen, setzt man die Eigenwerte der Reihe nach in die Matrix

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2& -1\\ 1& -\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 1\\ 3& 0& -3-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$

ein und löst dann für den Eigenvektor das Gleichungssystem

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2& -1\\ 1& -\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 1\\ 3& 0& -3-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_1\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_2\end{array}\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\\ 0\end{array}\right)}$

Zum Beispiel für den reellen Eigenwert ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=2}$ erhält man:

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1-2& 2& -1\\ 1& -2& 1\\ 3& 0& -3-2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_1\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_2\end{array}\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 1& -2& 1\\ 3& 0& -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_1\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_2\end{array}\\ {\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow }$

${\displaystyle -{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$

${\displaystyle 3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0}$

Die beiden ersten Gleichungen sind praktisch identisch, d.h., wir können nur eine von beiden verwenden. Wir nehmen z.B. die 1. Gleichung mal 3 und addieren sie zur 3. Gleichung:

${\displaystyle 6{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-{8\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0\Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\frac{8}{6}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\frac{4}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}$

und aus der ursprünglich 3. Gleichung erhalten wir:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\frac{5}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}$

Da wir nur 2 Gleichungen haben, können wir einen der 3 Werte willkürlich wählen. Ich nehme ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=3}$ und erhalte damit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=5}$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=4}$. Der Eigenvektor lautet damit

${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\\ 3\end{array}\right)}$

Mit den komplexen Eigenvektoren macht man es genau so. Es reicht, den komplexen Eigenvektor für einen komplexen Eigenwert zu berechnen. Der andere Eigenvektor ist dann konjugiert komplex zum ersten komplexen Eigenvektor.

Ich hoffe, Du kommst damit weiter.

Gruß Yokozuna

Da ich morgen nicht da bin (ich komme erst am abend zurück), hier noch mal zur Kontrolle die komplexen Eigenvektoren, die ich gefunden habe:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-2+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \sqrt{2};\overrightarrow{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\\ 1-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \sqrt{2}\end{array}\right)}$

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=-2-\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \sqrt{2};\overrightarrow{{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\\ 1+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \sqrt{2}\end{array}\right)}$

Für den Fall, daß Du etwas anderes herausbekommst, solltest Du in Betracht ziehen, daß die Eigenvektoren ja nicht eindeutig sind und sich um einen (auch komplexen) Faktor unterscheiden können.

Gruß Yokozuna