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Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Fourierkoeffizient, Fourierreihe, Komplex

blalala aktiv_icon

21:03 Uhr, 24.05.2014

Guten Abend,

ich soll die Fourierkoeffizienten ck,

k \in ℤ,

für diese

2 π

-periodischen Funktionen berechnen:
(i)

f (x) = e^{| x |}

für

x \in [- π, π)

(ii)

f (x) = cos (\frac{x}{2})

für

x \in [0,2 \cdot π)

Ich habe bisher:

(i)

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} e^{| x |} \cdot

e^(-ikx)

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} e^{| x |} \cdot

cos(kx)

d x - i \cdot \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} e^{| x |} \cdot

sin(kx)

d x

Ich weiß allerdings nicht, wie ich jetzt mit dem Betrag von

x

weiterrechnen soll bzw wie ich dies integrieren soll

(ii) ck

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} cos (\frac{x}{2}) \cdot

e^(-ikx)

= \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} cos (\frac{x}{2}) \cdot

cos(kx)

d x - i \cdot \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} cos (\frac{x}{2}) \cdot

sin(kx)

d x

Auch hier weiß ich nicht wie ich die Produkte integrieren soll

Vielen Dank schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe-Steve aktiv_icon

21:19 Uhr, 24.05.2014

Hallo,

für a benutze

$e^{| x |} = {\begin{matrix} e^{- x}, x < 0 \\ e^{x}, x > 0 \end{matrix}$

Mach also eine Fallunterscheidung und spalte das Integral in zwei Summanden auf von $- π$ bis 0 und von 0 bis $π$ .

Für b suche eine Formel für das Integral von sin(ax)*cos(bx) in einer Formelsammlung oder mit wolframalpha.com oder integriere zweimal partiell.

Gruß

Stephan

blalala aktiv_icon

21:26 Uhr, 24.05.2014

Also gilt bei

(i)

ck=

\frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{0} e^{- x} \cdot

cos(kx)

d x - i \cdot \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{0} e^{- x} \cdot

sin(kx)

d x + \frac{1}{2 \cdot π} \int_{0}^{π} e^{x} \cdot

cos(kx)

d x - i \cdot \frac{1}{2 \cdot π} \int_{0}^{π} e^{x} \cdot

sin(kx)

d x

oder?
Bei (ii) werd ich mir das nochmal genau anschauen

Mathe-Steve aktiv_icon

21:31 Uhr, 24.05.2014

ja, aber wieso zerlegst Du die komplexe Version überhaupt vorher in sin und cos?

blalala aktiv_icon

21:55 Uhr, 24.05.2014

Bei

(i)

erhalte ich:
ck

= - \frac{1}{2 \cdot π + i \cdot k \cdot 2 \cdot π} \cdot e^{- π + i \cdot k \cdot π} + \frac{1}{2 \cdot π - i \cdot k \cdot 2 \cdot π} \cdot e^{- π + i \cdot k \cdot π} + \frac{1}{2 \cdot π + i \cdot k \cdot 2 \cdot π} - \frac{1}{2 \cdot π - i \cdot k \cdot 2 \cdot π}

Ist das soweit richtig?
Kann man das noch irgendwie vereinfachen?

Bei (ii) komm ich irgendwie immer noch nicht weiter..
Ist es einfacher in sin und

cos

zu zerlegen oder sollte ich auch da lieber mit der Ausgansformel mit

e^{i \cdot k \cdot x}

rechnen?

Mathe-Steve aktiv_icon

22:05 Uhr, 24.05.2014

was auffällt ist, dass die Nenner a+bi und a-bi sind, was man wohl zu 2bi/(a²+b²) vereinfachen kann.

Bei b muss man halt nur einmal cos(ax)*e^(bx) integrieren statt zwei Summanden.

blalala aktiv_icon

22:37 Uhr, 24.05.2014

Ich erhalte also:

(i)

= - \frac{1}{2 \cdot π + i \cdot k \cdot 2 \cdot π} \cdot e^{π + i \cdot k \cdot π} + \frac{1}{2 \cdot π - i \cdot k \cdot 2 \cdot π} \cdot e^{- π + i \cdot k \cdot π} + \frac{4 \cdot π \cdot i \cdot k}{4 \cdot π^{2} + 4 \cdot π^{2} \cdot k}

(ii) Für

k

ungerade: ck

= \frac{2 i}{4 \cdot π \cdot k + 2 \cdot π}

Für

k

gerade: ck

= - \frac{2 i}{4 \cdot π \cdot k - 2 \cdot π}

Sind die Lösungen richtig?
Hab ich noch irgendwas übersehen was ich vereinfachen könnte?

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