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Komplexe Funktionsfolgen approximieren

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Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Sonstig

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

22:56 Uhr, 24.04.2018

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Hallo,

ich komme an dieser Aufgabe nicht weiter:

Für nN definieren wir fn:C \{ 0}C durch fn(z)=zn+z-n.

(1) Zeige durch vollständige Induktion, dass es für jedes nN ein Polynom Pn:CC gibt,
sodass fn(z)=Pn(z+z-1) und finden Sie eine Rekursionsformel für die Pn

(Meine Idee: Ist hier das Taylorpolynom gemeint? Wie sieht hier der Indukationsanfang für das Polynom aus für n=2 aus?)

(2) Sei Q:RR ein reeles Polynom mit
Supx[-2,2]|Q(x)|<2
und sein nN. Zeige, dass dann Pn-Q:[-2,2]R mindestens n verschiedene reele Nullstellen besitzt.

Vielen Dank



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

23:20 Uhr, 24.04.2018

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"Ist hier das Taylorpolynom gemeint?"

Nein. Gemeint ist, dass man (z+z-1)k mit binomischen Formeln darstellen soll und dann passende Koeffizienten finden.
Z.B. (z+z-1)2=z2+2+z-2, daher z2+z-2=(z+z-1)2-2.
Im Fall 3 ist es auch ähnlich: (z+z-1)3=z3+3z+3z-1+z-3, daher z3+z-3=(z+z-1)3-3(z+z-1).

Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

23:28 Uhr, 24.04.2018

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Vielen Dank für deinen Tipp.

Aber wie wende ich dieses Polynom dann in (2) an?

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:28 Uhr, 25.04.2018

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2 scheint richtig knifflig zu sein, momentan habe ich keine vernünftige Idee
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 25.04.2018

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Die Rekursionsformel bekommt man übrigens so:
Pn+1=zn+1+zn+1=(zn+z-n)(z+z-1)-(zn-1+z-n+1)=PnP1-Pn-1.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:18 Uhr, 25.04.2018

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Noch interessant: in Wirklichkeit gilt Pn(x)=2Tn(x/2), wo Tn - das n-te Tschebyschow-Polynom ist (leicht aus der Rekursionsformel zu folgern).
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