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Komplexe Funktionsgraphen
Universität / Fachhochschule
Graphentheorie
Tags: Funktion, Graphentheorie, kurven
 
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Hallo an alle! Ich hänge grad ein bisschen bei der Kurvendiskussion, weil mein Wissen auf dem Gebiet nicht so groß und mein räumliches Verständnis auch nicht so ausgeprägt ist. "^_^" Was ich noch nicht durchschaut habe sind Graphen von "Mischfunktionen" wie etwa oder . Habe ein paar solcher Graphen mit einem Funktionszeichner darzustellen versucht (siehe Anhang). Gibt es irgendwelche allgemeinen Regeln dafür, wie die Graphen bei solchen "Mischfunktionen" verlaufen? Etwa scheint die Kurve von x³ sehr ähnlich wie die x³-Kurve zu verlaufen (außer im linken unteren Bereich). Das x³ scheint also prominenter zu sein / sich mehr durchzusetzen, als das . Und was passiert generell wenn ich zwei Funktionsterme addiere, im Unterschied dazu wenn ich multipliziere? Eigentlich deutet Addition ja auf Verschiebung der Kurve hin und Multiplikation auf Änderung der Kurve an sich(Steigung etc.), oder? Aber wenn ich zwei Terme unterschiedlicher Art addiere, welcher Term ist ausschlaggebend für die generelle "Form" der Kurve, und welcher trägt nur zur Verschiebung bei. Etwa bei Zeichne ich da eine Wurzelfunktion die durch verschoben wird, oder eine log-Funktion, die durch verschoben wird? Schonmal danke für eure Hilfe! LG, Alex    |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Eine gerenerelle Aussage läßt sich nicht machen. Allerdings kann man sich am "Charakter" einer Funktion ( respektive des Graphen ) orientieren. . Die Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenzfunktion, der Bildbereich von sin und ist usw. Bezüglich "Streckung" und Verschiebung eines Graphen: Eine echte Streckung ( bzw. Stauchung ) erfolgt nur dann, wenn eine Funktion . durch ersetzt wird eine Verschiebung nach nach oben und unten mit einer additiven Konstanten und eine Verschiebung nach links und rechts, indem man die unabhängige Variable ( meistens durch ersetzt. Das Wissen, wie der Graph einer bekannten Funktion aussieht, ist natürlich von Vorteil. Ansonsten hilft ja der Computer bzw. eine schnelle Kurvendiskussion ( Nullstellen, Polstellen, Verhalten bei usw. ). |
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Ok, vielen Dank! Hab nächste Woche eine Prüfung und da dürfen wir keine Rechner verwenden. Deswegen wollte ich mir ein paar allgemeine Regeln für Funktionen wie die oben beschriebenen merken. Aber wenn's keine wirklichen allgemein gültigen Regeln dafür gibt, werden sie uns wohl bei der Prüfung keine Graphen von so komplexen Funktionen zeichnen lassen. Und im schlimmsten Fall hilft, wie du sagst, immer noch eine rudimentäre Kurvendiskussion :-) |
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Noch eine kurze Frage... Bei einem Übungsbeispiel müssen wir untersuchen. Nullstellen und Extremwerte schaff ich, aber wenn ins Spiel kommt (beim Überprüfen ob Minima/Maxima vorliegen und Errechnen der Wendepunkte) hab ich immer Rechen- oder Vorzeichenfehler und komm auf kein sinnvolles Ergebnis, sodass ich die Kurve dann nicht mal skizzieren kann. Jetzt weiß ich vom Kurvenrechner, dass der Graph wie der eines Polynoms dritten Grades mit positivem Vorzeichen aussieht. Könnte ich das schon irgendwie aus der Funktion in der Angabe herauslesen? Damit ich, wenn ich die Kurvendiskussion durchführe, zumindest eine Idee habe wie die Funktion aussieht, und abschätzen kann ob meine Ergebnisse stimmen? |
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"Jetzt weiß ich vom..." Der Graph eines Polynoms dritten Grades hat immer Ähnlichkeit mit einem mehr oder weniger stark gebogenen S-Haken, geht bei Positivem Vorzeichen der höchsten Potenz von links unten nach rechts oben, sonst diagonal dazu. Deine Funktion hat damit gar keine Ähnlichkeit, da hilft auch kein Funktionsrechner. Sie hat nach links und rechts den Grenzwert keine Polstellen (weil der Nenner nicht 0 werden kann) und müsste eigentlich von jedem Abiturienten ohne Probleme im Kopf behandelt werden können. Deine elementaren Lücken im reinen Rechenbereich ( "immer Vorzeichenfehler...") kannst du nur durch Training schließen. Also verstau deinen Rechner im Schrank und schließe den ab (mindestens ein Semester) - und wenn es dir noch so gegen den Strich geht. Im Bild kannst du sehen, dass es mit der Ähnlichkeit wirklich nicht weit her ist.  |
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Es gibt ein paar Hilfsmittel, wie man sich die Vorstellung erleichtern kann. Da der Nenner IMMER ist unmöglich ) gibt es keine Polstellen respektive Unstetigkeitsstellen. Da der Nenner IMMER für muss auch sein Da der Nenner IMMER für muss auch sein Einzige Nullstelle da siehe und ( von OBEN ) ( von UNTEN ) Extremstellen an Schnellüberprüfung ob Max oder Min ( ohne zweite Ableitung ) durch Einsetzen in die Funktionsgleichug. Max, Min |
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Die zweite Ableitung verliert den Schrecken, wenn ich im Zähler ausklammere und beim Nullsetzen weitgehend ignoriere ( da komplexe Lösung ). Der Rest läßt sich dann verhältnismäßig einfach berechnen. |
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Vielen Dank! Stimmt, auf den ersten Blick sah es ein bisschen aus wie die Funktion, weil diese auch (wenn sie nicht verschoben wird) vom linken unteren Bereich kommt, den Nullpunkt durchquert & nach rechts oben geht, und im Nullpunkt ihr Krümmungsverhalten ändert. Aber jetzt seh ich, dass die beiden Graphen doch sehr unterschiedlich sind! @Respon, vielen Dank für die Tips! Sehr hilfreich! :-) |
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