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Komplexe Gleichung Produkt mit z^2

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

schockner aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

ich habe hier eine kompexe Gleichung und habe überhaupt keine Ahnung wie man da ansetzt.

Sie lautet

(1 - i) z^{2} = 1 + 7 i

Wäre cool, wenn jemand eine Idee hätte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

12:31 Uhr, 11.02.2019

(1 - i) \cdot z^{2} = 1 + 7 \cdot i

z^{2} = \frac{1 + 7 \cdot i}{1 - i}

z^{2} = - 3 + 4 \cdot i

z_{1} = . .

z_{2} = . .

godzilla12 aktiv_icon

16:53 Uhr, 11.02.2019

Das ließe aber noch die Frage offen: Wie zieht man die Wurzel aus einer komplexen Zahl? Zunächst stelle ich euch ein Verfahren Marke Eigenbau vo, das ich als " Wurzelwurzeln "

(W W)

bezeichne. Dabei setze ich auf die konjugierte Symmetrie

z_{0} := 4 i - 3 (1 a)

z_{0}^{⋆} := - (3 + 4 i) (1 b)

Wie lautet nun diejenige quadratische Gleichung, deren Wurzeln ( 1ab ) sind?

z

- p z + q = 0 (2 a)

Satz von Vieta

p = z_{0} + z_{0}^{⋆} = 2

z_{0} = (- 6) (2 b)

q = z_{0} z_{0}^{⋆} = | z_{0} |

= 25 (2 c)

z_{0}

ist quasi die Wurzel von

(2 a);

dann bezeichne ich das ( gesuchte

) z_{0} = : x_{0}^{2}

als " Wurzel aus der Wurzel " oder eben

W W

. Setzen wir diese Definition von

x_{0}

ein in Vieta

(2 b);

was haben wir damit gewonnen?

p = x_{0}^{2} + {(x_{0}^{⋆})}^{2} = (- 6) (3 a)

Analog in

(2 c)

q = x_{0}^{2} {(x_{0}^{⋆})}^{2} = 25 (3 b)

u

:= q \to u = x_{0} x_{0}^{⋆} = 5 (3 c)

Und - oh Wunder

- (3 c)

stellt sich als quadratische Ergänzung von

(3 a)

heraus.

(x_{0} + x_{0}^{⋆})

= p + 2 u = 2 \cdot 5 - 6 = 4 (4 a)

x_{0} + x_{0}^{⋆} = 2 = 2

x_{0} (4 b)

(x_{0} - x_{0}^{⋆})

= p - 2 u = (- 16) (4 c)

x_{0} - x_{0}^{⋆} = 4 i = 2

Imag

x_{0} (4 d)

Zu lösen ist das LGS ( 4bd )

x_{0} = 1 + 2 i (5)

Auch hier musst du die Probe machen; vom Vorzeichen her ist einzig

x_{0}^{⋆}

die korrekte Lösung. ( An sich logisch; negativer Phasenwinkel

!)

Eine mehr konventionelle Vorgehensweise

z_{0} = | z_{0} | (cos φ + i sin φ); | z_{0} | = 5; cos φ = (- \frac{3}{5}); sin φ = (- \frac{4}{5}) (6 a)

x_{0} = {| z_{0} |}^{\frac{1}{2}} [cos (\frac{φ}{2}) + i sin (\frac{φ}{2})] |

(6 b)

Durch Quadrieren von

(6 b)

erhältst du die zu

(6 a)

alternative Form

cos φ + i sin φ =

cos²

(\frac{φ}{2}) -

sin²

(\frac{φ}{2}) + 2 i sin (\frac{φ}{2}) cos (\frac{φ}{2}) (6 c)

Koeffizientenvergleich zwischen ( 6ac )

cos²

(\frac{φ}{2}) -

sin²

(\frac{φ}{2}) = cos φ = (- \frac{3}{5}) (7 a)

(7 a)

stelle ich zur Seite die aussage des Pythagoras

cos²

(\frac{φ}{2}) +

sin²

(\frac{φ}{2}) = 1 (7 b)

( 7ab ) ist geradezu der Prototyp eines LGS ; die Lösung ist immer die selbe

cos²

(\frac{φ}{2}) =

aritm. Mittelw.

(- \frac{3}{5}; 1) = \frac{1}{5} \to cos (\frac{φ}{2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} (8 a)

sin²

(\frac{φ}{2}) =

halbe Diff.

(- \frac{3}{5}; 1) = \frac{4}{5} \to sin (\frac{φ}{2}) = \frac{2}{\sqrt{5}} (8 b)

Und? Stimmt's?

\to

" I ßßßtimm you zu; you are echt nicht schlecht; and your Badewanne ist ein Hit

. .

. "

ermanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 11.02.2019

Hallo,
nachdem godzilla12 nun die wohl längste Lösung aller Zeiten offeriert hat,
doch vielleicht lieber so:
Sei

z = a + b i

, dann folgt

a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2} = ∣ z^{2} ∣ = ∣ - 3 + 4 i ∣ = \sqrt{9 + 16} = 5

.
Andererseits ist

z^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i

, also

a^{2} - b^{2} = - 3

und

2 a b = 4

, also

b = 2 / a

2 a^{2} = (a^{2} + b^{2}) + (a^{2} - b^{2}) = 5 - 3 = 2 \Rightarrow a = \pm 1

, und daher auch

b = \pm 2

respektive.
Somit

z_{1} = 1 + 2 i

und

z_{2} = - 1 - 2 i

.
Gruß ermanus

godzilla12 aktiv_icon

19:55 Uhr, 11.02.2019

Nein Ermanus; genau das sollst du ja nicht. Vollkommen korrekt hast du das LGS

a

+ b

= | z | = 5 (2.1 a)

a

- b

² = Re

(z) = (- 3) (2.1 b)

( 2.1ab ) ist zu lösen nach Real-und Imagteil von

x

.
Mit dem Kreuzterm "

2 a b

" machst du bitte gar nichts; er ist nämlich entbehrlich. Es ist nämlich noch gar nicht so lange her, seit selbst Studienräte unschuldigen Schülern mit diesem Idiotix Kreuzterm das Hirn verblasen haben; daraus wurde dann ein Algorithmus bzw. Vorschlag destilliert, an den wir uns hier lieber nicht mehr erinnern

. .

.
Realteil und Betrag einer komplexen Zahl - genau die Größen übrigens, die im Satz von vieta auftauchen.

ermanus aktiv_icon

20:14 Uhr, 11.02.2019

Ich denke gar nicht daran, es so zu lösen, wie du es für "moralisch vertretbar" hältst.
Ich löse es so, wie ein Algebraiker es sinnvoller Weise
in diesem Falle macht.
Sage mir, was daran nicht korrekt ist. Sollten sich also so Leute wie
Euler, Gauss, Eisenstein, Dirichlet alle daneben benommen haben?
Hast du eine