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Komplexe Gleichung Produkt mit z^2

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

 
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nadja98

nadja98 aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Hallo,

ich habe hier eine kompexe Gleichung und habe überhaupt keine Ahnung wie man da ansetzt.

Sie lautet (1-i)z2=1+7i

Wäre cool, wenn jemand eine Idee hätte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Respon

Respon

12:31 Uhr, 11.02.2019

Antworten
(1-i)z2=1+7i
z2=1+7i1-i
z2=-3+4i
z1=...
z2=...
Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

16:53 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Das ließe aber noch die Frage offen: Wie zieht man die Wurzel aus einer komplexen Zahl? Zunächst stelle ich euch ein Verfahren Marke Eigenbau vo, das ich als " Wurzelwurzeln " (WW) bezeichne. Dabei setze ich auf die konjugierte Symmetrie



    z0:=4i-3    (1a)

    z0:=-(3+4i)    (1b)


Wie lautet nun diejenige quadratische Gleichung, deren Wurzeln ( 1ab ) sind?



    z ² -pz+q=0    (2a)



Satz von Vieta


    p=z0+z0=2 Re z0=(-6)    (2b)

    q=z0z0=|z0| ² =25    (2c)


z0 ist quasi die Wurzel von (2a); dann bezeichne ich das ( gesuchte )    z0=:x02 als " Wurzel aus der Wurzel " oder eben WW. Setzen wir diese Definition von x0 ein in Vieta (2b); was haben wir damit gewonnen?



    p=x02+(x0)2=(-6)    (3a)


Analog in (2c)


    q=x02  (x0)2=25     (3b)

    u ² :=qu=x0x0=5    (3c)


Und - oh Wunder -(3c) stellt sich als quadratische Ergänzung von (3a) heraus.



    (x0+x0) ² =p+2u=25-6=4        (4a)

    x0+x0=2=2 Re x0        (4b)

    (x0-x0) ² =p-2u=(-16)        (4c)

    x0-x0=4i=2 Imag x0        (4d)



Zu lösen ist das LGS ( 4bd )


    x0=1+2i    (5)


Auch hier musst du die Probe machen; vom Vorzeichen her ist einzig x0 die korrekte Lösung. ( An sich logisch; negativer Phasenwinkel !)
Eine mehr konventionelle Vorgehensweise



    z0=|z0|  (cosφ+isinφ);  |z0|=5;  cosφ=(-35);  sinφ=(-45)    (6a)

    x0=|z0|12  [cos(φ2)+isin(φ2)]    | ²     (6b)


Durch Quadrieren von (6b) erhältst du die zu (6a) alternative Form



    cosφ+isinφ= cos² (φ2)- sin² (φ2)+2isin(φ2)cos(φ2)    (6c)



Koeffizientenvergleich zwischen ( 6ac )



     cos² (φ2)- sin² (φ2)=cosφ=(-35)    (7a)


(7a) stelle ich zur Seite die aussage des Pythagoras


     cos² (φ2)+ sin² (φ2)=1    (7b)



( 7ab ) ist geradezu der Prototyp eines LGS ; die Lösung ist immer die selbe


     cos² (φ2)= aritm. Mittelw. (-35;1)=15cos(φ2)=15    (8a)

     sin² (φ2)= halbe Diff. (-35;1)=45sin(φ2)=25    (8b)


Und? Stimmt's?

" I ßßßtimm you zu; you are echt nicht schlecht; and your Badewanne ist ein Hit ... "
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ermanus

ermanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Hallo,
nachdem godzilla12 nun die wohl längste Lösung aller Zeiten offeriert hat,
doch vielleicht lieber so:
Sei z=a+bi, dann folgt
a2+b2=z2=z2=-3+4i=9+16=5.
Andererseits ist z2=(a2-b2)+2abi, also a2-b2=-3 und 2ab=4, also b=2/a.
2a2=(a2+b2)+(a2-b2)=5-3=2a=±1, und daher auch b=±2 respektive.
Somit z1=1+2i und z2=-1-2i.
Gruß ermanus
Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

19:55 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Nein Ermanus; genau das sollst du ja nicht. Vollkommen korrekt hast du das LGS


    a ² +b ² =|z|=5    (2.1a)

    a ² -b ² = Re (z)=(-3)    (2.1b)


( 2.1ab ) ist zu lösen nach Real-und Imagteil von x .
Mit dem Kreuzterm " 2ab " machst du bitte gar nichts; er ist nämlich entbehrlich. Es ist nämlich noch gar nicht so lange her, seit selbst Studienräte unschuldigen Schülern mit diesem Idiotix Kreuzterm das Hirn verblasen haben; daraus wurde dann ein Algorithmus bzw. Vorschlag destilliert, an den wir uns hier lieber nicht mehr erinnern ...
Realteil und Betrag einer komplexen Zahl - genau die Größen übrigens, die im Satz von vieta auftauchen.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:14 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Ich denke gar nicht daran, es so zu lösen, wie du es für "moralisch vertretbar" hältst.
Ich löse es so, wie ein Algebraiker es sinnvoller Weise
in diesem Falle macht.
Sage mir, was daran nicht korrekt ist. Sollten sich also so Leute wie
Euler, Gauss, Eisenstein, Dirichlet alle daneben benommen haben?
Hast du eine 2ab-Phobie? Ich verstehe es nicht.
nadja98

nadja98 aktiv_icon

22:18 Uhr, 11.02.2019

Antworten
@Respon

Wie kommst du von 1+7i1-i auf -3+4i?
Antwort
Respon

Respon

22:19 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Der Bruch wird mit 1+i erweitert.
Antwort
Respon

Respon

22:34 Uhr, 11.02.2019

Antworten
Wenn's keine weiteren Fragen gibt - Beispiel als erledigt abhaken.
Frage beantwortet
nadja98

nadja98 aktiv_icon

11:29 Uhr, 12.02.2019

Antworten
Jetzt ist alles klar. Danke für die Hilfe!
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:42 Uhr, 12.02.2019

Antworten
Nochmal eine kleine Bemerkung @godzilla12:
Das Gleichungssystem (2.1ab) liefert vier
Lösungen für a+bi. Aber nur zwei davon kommen in Frage.
Die Verwendung von 2ab=... determiniert jedoch b, wenn a
bereits gewählt wurde.
Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

12:58 Uhr, 12.02.2019

Antworten
Machste halt die Probe, wenn du dir wirklich unsicher bist. Im Übrigen glt ja


    (eiφ)12=e12iφ    (3.1)


so dass über das Vorzeichen des Sinusterms kein Zweifel besteen dürfte.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 12.02.2019

Antworten
Warum sollte ich das so machen, wenn ich doch den Wert von 2ab besitze.