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Komplexe Gleichung lösen

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Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

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ramirezi

ramirezi aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.01.2013

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Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung im Bereich der
komplexen Zahlen!

12 z + i z^{2} + 20 i = 3 z^{2} + 60 + 4 i z

In der Vorlesung wurde diese Gleichung mit der PQ-Formel gelöst.
Nun weiß ich nicht mehr genau wie.

Wenn ich nun die PQ-Formel anwenden möchte, müsste ich erstmal alles auf einen Term bringen.

Dabei komme ich dann auf folgende Gleichung

- 3 z^{2} + i z^{2} + 12 z - 4 i^{z} - 60 + 20 i = 0

Nun wüsste ich nicht weiter.

Eine andere Idee war es

z

von

i z

zu trennen.

- 3 z^{2} + 12 z - 60 = - i z^{2} + 4 i z - 20 i

Aber auch hier weiß ich nicht weiter und auch nicht ob es überhaupt der richtige Weg ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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BeeGee

BeeGee aktiv_icon

13:26 Uhr, 19.01.2013

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Rechne mal "stur" weiter:

(- 3 + i) z^{2} + (12 - 4 i) z - 60 + 20 i = 0

Mit der Mitternachtsformel

(a = - 3 + i; b = 12 - 4 i

und

c = - 60 + 20 i)

. Das gibt wahrscheinlich eine Menge Schreibarbeit, funktioniert aber im Prinzip gleich wie bei den reellen Zahlen.

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zockermax

zockermax aktiv_icon

13:34 Uhr, 19.01.2013

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oh ich mach meine Lösung lieber schnell weg war blödsinn :-)

Antwort

BeeGee

BeeGee aktiv_icon

13:44 Uhr, 19.01.2013

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Ich probier's mal:

(- 3 + i) z^{2} + (12 - 4 i) z - 60 + 20 i = 0 | : (- 3 + i)

gleich konjugiert komplex erweitert:

z^{2} + \frac{(12 - 4 i) \cdot (- 3 - i)}{9 - i^{2}} z + \frac{(- 60 + 20 i) \cdot (- 3 - i)}{9 - i^{2}} = 0

z^{2} + \frac{- 36 - 12 i + 12 i + 4 i^{2}}{10} z + \frac{180 + 60 i - 60 i - 20 i^{2}}{10} = 0

Das löst sich ja schön auf:

z^{2} - 4 z + 20 = 0

z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 20} = 2 \pm \sqrt{- 16} = 2 \pm 4 i

ramirezi

ramirezi aktiv_icon

14:07 Uhr, 19.01.2013

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Danke vielmals,

wie komme ich nochmal von

\sqrt{- 16}

auf

4 i

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BeeGee

BeeGee aktiv_icon

14:19 Uhr, 19.01.2013

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i^{2} = - 1 \to i = \sqrt{- 1}

\sqrt{- 16} = \sqrt{16 \cdot (- 1)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{- 1} = 4 \cdot i

Frage beantwortet

ramirezi

ramirezi aktiv_icon

14:36 Uhr, 19.01.2013

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Ah stimmt, jetzt erriner ich mich.

:-D)

Vielen Dank nochmal

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