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Komplexe Gleichungen lösen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Gleichung, Komplexe Zahlen, Lösung

Connor1 aktiv_icon

17:13 Uhr, 08.03.2017

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe zu komplexen Gleichungen berechnet und bin mir nicht sicher ob das die richtige Lösung ist.

Die Aufgabenstellung ist im Anhang.

$(z^{2} - \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3} i) (z^{3} - 27 i) = 0$

Hier kann man ja den Satz vom Nullprodukt anwenden, also die Lösungen der einzelnen Klammern ausrechnen, oder?

Für $z^{2} - \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3} i) = 0$

$\Leftrightarrow z^{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} i$

$\Rightarrow z 1 = \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{3} i}$

$z 2 = - \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{3} i}$

Für $z^{3} - 27 i = 0$

$z 3$ wäre hier ja dann $\sqrt[3]{27 i}$

Ich kann mir nicht vorstellen, dass das die richtige Lösung ist.
Muss ich hier $z =$ x+iy aufschreiben?
Und die Lösung dann als $x 1, x 2, x 3$ etc.

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

17:27 Uhr, 08.03.2017

Hallo
bisher ist alles richtig, nur solltest du wohl die Wurzeln wirklich bestimmen ,
am einfachsten indem du die Zahlen als $r = e^{i φ + i \cdot k \cdot 2 π}$ schreibst und dann die 2 zweiten und 3 dritten Wurzeln bestimmst.
also 5 Lösungen und die in der Form am Ende a+ib
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

18:41 Uhr, 08.03.2017

.
"bisher ist alles richtig, "
$... ... ... ... ... \to$ und diese Behauptung ist schon mal falsch

denn bei der ersten Gleichung gilt der Faktor $\frac{1}{2}$ für beide Summanden in der Klammer

siehe $\to z^{2} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3} \cdot i)$

also: richtig wäre $\to z^{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i$

und bei dieser einfachen Gleichung könntest du wahlweise
die Exponentialform verwenden
oder einen Ansatz mit $\to z = x + i \cdot y$ machen..

mit dem Ansatz $\to z = x + i y$
müsstest du dann die rein $r e e l l e n$ Lösungen des Gleichungssystems ermitteln $\to$

$x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$
$2 x y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

oder
mit dem anderen Ansatz $z^{2} = e^{(\frac{π}{3} + 2 k π) \cdot i} ... . \Rightarrow$ berechne: $z_{0}$ für $k = 0$ und $z_{1}$ für $k = 1$
dann musst du diese beiden gefundenen Lösungen $z_{0}$ und $z_{1}$ wieder in Normalform umwandeln.

$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

und leider ist oben auch der zweite Tipp falsch $\to$

" ...indem du die Zahlen als $r = e^{i φ + i \cdot k \cdot 2 π}$ schreibst "

richtig wäre
$\to$ indem du die komplexen Zahlen a als $\to a = r \cdot e^{i φ + i \cdot k \cdot 2 π}$ schreibst,
..wobei $r = | a |$ ist.
Anmerkung dazu noch: bei deinem zweiten Beispiel $\to z^{3} = 27 i .$ . ist dann $a = 27 i . .$ .

.

rundblick aktiv_icon

10:21 Uhr, 09.03.2017

.
@ Connor1 :

danke dir für die Bestätigung, dass du die Antwort zur Kenntnis genommen hast..

$\to .$ .
.

Connor1 aktiv_icon

14:45 Uhr, 09.03.2017

Danke für die Antwort!

Keine Panik!! Deine Antwort habe ich gelesen, jedoch musste ich mich erst einmal in die Polarformschreibweise einlernen um eventuelle Fragen direkt stellen zu können.

Also wenn ich das richtig vestanden habe, kann ich die erste Gleichung so lösen:

$z^{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$z' = r \cdot e^{i \cdot}$ arctan(b/a)

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{2^{2}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

mit $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $a = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow z' = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot e^{i \cdot}$ arctan(b/a) $= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot e^{i \cdot}$ arctan( $\sqrt{3})$

Für die Werte nun wie folgt einsetzen:

$z_{n} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i} \cdot$ (arctan( $\sqrt{3}) : 2) + n \cdot \frac{2 π}{2})$
$(i$ ausgeklammert, kleine Probleme mit dem Schreiben von Formeln)

Da $z^{2}$ ist, habe ich die Wurzel am Anfang gesetzt ( also die "2te Wurzel aus $r)$ . Das ganze mal $e^{i}$ mal den Winkel durch $2 + n$ mal $2 \frac{π}{2}$ . (Auch hier durch $2,$ da $z^{2},$ bei $z^{3}$ dementsprechend Winkel durch 3 und $2 \frac{π}{3}$ ?)

Für $n = (0$ bis $k - 1) \to (0,2 - 1) \to (0,1)$

Also:

$z_{0} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i} \cdot$ (arctan( $\sqrt{3}) : 2) + 0 \cdot \frac{2 π}{2}$

$\Leftrightarrow z_{0} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i} \cdot$ (arctan( $\sqrt{3}) : 2)$

$z_{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{i} \cdot$ (arctan( $\sqrt{3}) : 2) + 1 \cdot \frac{2 π}{2}$

Wären das dann die 2 Lösungen der ersten Gleichung? Das müsste man dann noch laut Aufgabenstellung in x+iy zurückschreiben oder nicht?

Hinweis: Das ist eine Klausuraufgabe von meiner Uni, Taschenrechner ist verboten.

Danke nochmal für die wunderbare Hilfe.

Gruß
Connor

Connor1 aktiv_icon

15:01 Uhr, 09.03.2017

Für die Klausur darf ich ein DIN $A 4$ Blatt als "Spickzettel" mitnehmen.
Ich denke es ist sinnvoll einige Werte für arctan aufzuschreiben. arctan( $\sqrt{3}) = \frac{π}{3}$

Dann lässt sich noch kürzen.

Für $z_{0} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})} \cdot e^{\frac{π}{6} i}$

$z_{1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})} \cdot e^{i (\frac{π}{6} + π)}$

$\Leftrightarrow z_{1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})} \cdot e^{\frac{7 π}{6}} i$

richtig?

Gruß
Connor

ledum aktiv_icon

22:52 Uhr, 09.03.2017

Hallo
$\frac{1}{2^{2}} + \frac{3}{2^{2}} = 1$ nicht $\frac{3}{4}$

$sin, cos tan$ für die Winkel $30, 45,60, 90$ zu wissen, dazu sollte man keinen Spickzettel brauchen,
Gruß ledum

Connor1 aktiv_icon

23:14 Uhr, 09.03.2017

Danke für die Antwort!

Stimmt! Ja ich denke die $\frac{cos}{sin} / tan$ werte sollte ich auswendig lernen.

Stimmt denn die Rechnung abgesehen von dem Rechenfehler?
Außerdem weiß ich nicht genau wie ich dann die Lösung der Polarform in die x+iy Form rückschreiben kann.

Gruß
Connor

rundblick aktiv_icon

23:43 Uhr, 09.03.2017

.
"Keine Panik!!"

diese Reaktion ist ja ganz schön "daneben"
Wenn sich jemand die Mühe macht, dir helfen zu wollen
- egal ob gut oder schlecht -
dann scheint mir zumindest irgendeine Kurzmeldung zum
Erhalt der Antwort nicht zuviel verlangt sondern ein
Minimum an Anstand.
Danksagungen sind ja eh nicht erwartet, erfreuen aber.

so
und zu deiner Frage $\to$ "richtig?"
$\to$ da hast du die Antwort ja diesmal schon richtig bekommen: $\to$ Nein.

und nicht gesagt hat man dir offenbar, dass der arctan.. nicht eindeutig
und damit nicht besonders geeignet ist bei der Bearbeitung dieser Aufgaben.

na ja - hier halt nochmal ein Tipp - und zwar dazu:
" wie ich dann die Lösung der Polarform in die x+iy Form rückschreiben kann. "
$\to$
arbeite dich halt auch noch in die trigonometrische Form der Darstellung
komplexer Zahlen ein und mache dann vielleicht in ein paar Tagen eine Erfolgsmeldung..

.

Connor1 aktiv_icon

00:35 Uhr, 10.03.2017

Lieber rundblick,

erstmal danke für deine Anmerkung.

Ich will hier nur mal klar machen, dass ich mich in keinerlei Hinsicht wie du meintest "daneben" verhalten wollte.
Ich bin überaus dankbar und froh darüber, so ein tolles Forum gefunden zu haben, wo ich immer großartige Hilfe erhalte.

Mit "keine Panik" wollte ich keinesfalls undankbar wirken.
Du hast deinen Lösungsvorschlag abends gesendet und dich bereits am Vormittag für meine Rückmeldung "bedankt" (Ironie). Das kam mir etwas hektisch rüber.

Ich zwinge keinen mir zu helfen, wenn mir jemand helfen WILL und das auch gerne macht, bin ich überaus dankbar dafür!
Lösungsvorschläge lasse ich NIE unbeantwortet stehen, doch auch ich brauche meine Zeit um Lösungsansätze zu verstehen und umzusetzen.
Ich bin mir sicher, dass du mit einem trockenen "Hab deine Antwort erhalten" nicht zufrieden bist, du möchtest natürlich dass ich deine Ansätze verstehe und umsetzen kann. Das braucht aber seine Zeit.
Wenn du mir diese Zeit nicht geben kannst, dann bitte ich dich von weiteren Antworten abzusehen.

Auch ich gebe mir viel Mühe die Aufgaben so vollständig wie möglich zu lösen. Wenn ich dann auf meine Frage, ob der Lösungsweg richtig sei ein einfaches "Nein" erhalte, bekomme ich den Eindruck, dass du das nicht gerne machst.

Ich bedanke mich trotzdem vom Herzen für deine Mühe und Hilfe.

Den Rest der Aufgabe werde ich wohl selbständig lösen.

Gruß
Connor

rundblick aktiv_icon

12:52 Uhr, 10.03.2017

.
"Wenn ich dann auf meine Frage,
ob der Lösungsweg richtig sei ein einfaches "Nein" erhalte,.."

wenn du dir die Mühe machst, zu lesen was man dir schreibt, dann
hättest du erkennen können, dass das "einfache Nein" schlicht nur eine
Bestätigung der von ledum schon notierten Begründung ist - da braucht
es doch nicht ein Wiederkäuen.... siehe $\to$
"und zu deiner Frage → "richtig?"
→ da hast du die Antwort ja diesmal schon richtig bekommen:"

Aber natürlich werde ich deinen Wunsch möglichst erfüllen $\to$
" bitte ich dich von weiteren Antworten abzusehen."
falls ich also aus Versehen doch mal wieder dir Vorschläge
aufzwingen sollte, kannst du mich gerne daran erinnern.

Ansonsten finde ich deine notierten Arbeits-Vorsätze erfreulich
aber mit der Meinung, dass ich nicht gerne helfe, liegst du falsch.

.

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