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Komplexe Integrale mit Cauchy-Integralformel

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

i-benni aktiv_icon

16:14 Uhr, 31.01.2013

Hallo, ich sitze an zwei Aufgaben und bräuchte dort noch einmal etwas Hilfe. Also ich soll folgende Integrale berechnen:
a)

\int_{∣ z - 1 ∣ = 1}^{} \frac{e^{z}}{(z + 1) (z - 5)} d z

\int_{∣ z ∣ = 2}^{} \frac{c o s (z + π / 4)}{z^{2} (z + 3)} d z

Hier meine bisherigen Lösungsansätze / Versuche:
Zu a:
Bei

∣ z - 1 ∣ = 1

handelt es sich um den Kreis um 1 mit Radius 1. Da die beiden Nullstellen des Nenners (5 und -1) nicht innerhalb dieses Kreises liegen folgt folgt sofort

\int_{∣ z - 1 ∣ = 1}^{} \frac{e^{z}}{(z + 1) (z - 5)} d z = 0

Ist das korrekt?

zu b)
Bei

∣ z ∣ = 2

handelt es sich um den Kreis um (0,0) mit Radius 2.
Nullstellen des Nenners sind hier 0 und -3

\Rightarrow

nur die 0 liegt innerhalb des Kreises. Spielt es eine Rolle, dass sie auch der Mittelpunkt ist?
Für die Cauchy-Integralformel (für Ableitungen) sei also nun

f (z) = \frac{c o s (z + π / 4)}{z + 3} .

Nun sollte doch gelten
f '(0)

2 π i

\int_{∣ z ∣ = 2}^{} \frac{f (z)}{z^{2}} d z

Ist das soweit korrekt?
Vielen Dank für eure Hilfe (:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.01.2013

Hallo,

ist korrekt.

Gruß pwm

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