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Komplexe Lösungen

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Tags: komplexe Lösungen, n-te Wurzel

laar-in aktiv_icon

17:17 Uhr, 14.03.2019

a \in ℂ

. Beschreibe geometrisch alle komplexen Lsg. der Gleichung

X^{n} = a

für

n \in ℕ

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 14.03.2019

Hallo
die Lösungen liegen alle auf einem Kreis mit Radius

\sqrt[n]{| a |}

bei jeweils \phi/n+2pik/n bzw wenn a reell ist ohne

φ a = | a | \cdot e^{i φ + i \cdot 2 k \cdot 2 π} k \in ℕ,

Gruß ledum

laar-in aktiv_icon

12:38 Uhr, 15.03.2019

Hallo ledum
wie kommt man da drauf?:-)
Gruß laar-in

Edddi aktiv_icon

13:10 Uhr, 15.03.2019

z . B

. weil

{[r^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n})}]}^{n} = r \cdot e^{i (φ + 2 k π)} = r \cdot e^{i (φ)}

Ansonsten geometrisch:

potenziert man eine komplexe Zahl, so potenziert sich der Betrag und verfielfacht sich entsprechend das Winkelargument.

Beispiel:

(1 + i)

oder in Euler

\sqrt{2} e^{i \cdot \frac{π}{4}}

hat den Betrag

\sqrt{2}

und das Argument

\frac{π}{4}

potenziert man nun

{(1 + i)}^{3}

oder in Euler

{\sqrt{2}}^{3} e^{i \cdot (\frac{3}{4} π)}

so hat der Betrag den Wert

{\sqrt{2}}^{3}

und das Argument den Wert

3 \cdot \frac{π}{4}

Analo beim radizieren, da

\sqrt[3]{...} = {(...)}^{\frac{1}{3}}

Damit hat man die erste Lösung für

x^{n} = z = r \cdot e^{i φ}

mit

x = z^{\frac{1}{n}} \cdot e^{\frac{i φ}{n}}

Teilt man nun noch die

2 π

durch

n

so hat man dann die

n

Winkel

\frac{φ}{n} + 0 \cdot \frac{2 π}{n}

\frac{φ}{n} + 1 \cdot \frac{2 π}{n}

.
.
.

\frac{φ}{n} + (n - 1) \cdot \frac{2 π}{n}

Für alle dieses Winkel gilt

(\frac{φ}{n} + k \cdot \frac{2 π}{n}) \cdot n = φ + 2 k π

Daher dann

{[e^{i (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n})}]}^{n} = e^{i (φ + 2 k π)} = e^{i φ}

am Einh.-kreis

bzw.

{[r^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n})}]}^{n} = r \cdot e^{i (φ + 2 k π)} = r \cdot e^{i (φ)}

laar-in aktiv_icon

13:24 Uhr, 15.03.2019

Wow, vielen Dank euch beiden

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