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Komplexe Lösungen

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Tags: komplexe Lösungen, n-te Wurzel

 
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laar-in

laar-in aktiv_icon

17:17 Uhr, 14.03.2019

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a. Beschreibe geometrisch alle komplexen Lsg. der Gleichung Xn=a für n

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
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ledum

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 14.03.2019

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Hallo
die Lösungen liegen alle auf einem Kreis mit Radius |a|n bei jeweils \phi/n+2pik/n bzw wenn a reell ist ohne φa=|a|eiφ+i2k2πk,
Gruß ledum
laar-in

laar-in aktiv_icon

12:38 Uhr, 15.03.2019

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Hallo ledum
wie kommt man da drauf?:-)
Gruß laar-in
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

13:10 Uhr, 15.03.2019

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z.B. weil

[r1nei(φn+2kπn)]n=rei(φ+2kπ)=rei(φ)

Ansonsten geometrisch:

potenziert man eine komplexe Zahl, so potenziert sich der Betrag und verfielfacht sich entsprechend das Winkelargument.

Beispiel:

(1+i) oder in Euler 2eiπ4 hat den Betrag 2 und das Argument π4

potenziert man nun

(1+i)3 oder in Euler 23ei(34π) so hat der Betrag den Wert 23 und das Argument den Wert 3π4

Analo beim radizieren, da ...3=(...)13

Damit hat man die erste Lösung für xn=z=reiφ mit x=z1neiφn

Teilt man nun noch die 2π durch n so hat man dann die n Winkel

φn+02πn

φn+12πn

.
.
.

φn+(n-1)2πn

Für alle dieses Winkel gilt

(φn+k2πn)n=φ+2kπ

Daher dann [ei(φn+2kπn)]n=ei(φ+2kπ)=eiφ am Einh.-kreis

bzw.

[r1nei(φn+2kπn)]n=rei(φ+2kπ)=rei(φ)


Frage beantwortet
laar-in

laar-in aktiv_icon

13:24 Uhr, 15.03.2019

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Wow, vielen Dank euch beiden