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Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome

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Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Charakteristisches Polynom, Determinanten, Eigenwert, Matrizenrechnung, Vektorraum

D2109 aktiv_icon

15:51 Uhr, 30.01.2015

Hallo liebe Helfer,

Meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

Gegeben sei eine komplexe

n

n

-Matrix

A

mit charakteristischem Polynom

χ_{A} (t)

. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von

χ_{A} (t)

das charakteristische Polynom folgender Matrizen

B

.

i)

B = b \cdot A

, für ein

b \in ℝ

.
ii)

B = A^{- 1}

, falls

A

invertierbar ist.
iii)

B = A^{2}

.

Zunächst mal meine Frage: Gefordert ist ja der Umgang mit einer allgemeinen Matrix, da

n

n

. Wie sieht eine allgemeine komplexe Matrix denn aus? Etwa so?

(\begin{array}{rcl} a_{11} + b_{11} \cdot i & a_{12} + b_{12} \cdot i & . . . & a_{1 n} + b_{1 n} \cdot i \\ a_{21} + b_{21} \cdot i & a_{22} + b_{22} \cdot i & . . . & a_{2 n} + b_{2 n} \cdot i \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ a_{n 1} + b_{n 1} \cdot i & a_{n 2} + b_{n 2} \cdot i & . . . & a_{n n} + b_{n n} \cdot i \end{array})

Oder muss ich hier wegen i) besser das

b

durch z.B. ein

c

ersetzen?

Hoffe ihr könnt mir Schritt für Schritt weiterhelfen :-) Vielen Dank im Voraus!

D2109

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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15:53 Uhr, 30.01.2015

"Wie sieht eine allgemeine komplexe Matrix denn aus?"

Sie sieht wirklich so aus, wenn Deine

a, b

alle reell sind.
Aber Du brauchst nicht zu wissen, wie sie genau aussieht.

D2109 aktiv_icon

15:55 Uhr, 30.01.2015

Das heißt also ich kann mit dieser Matrix wie ich sie aufgezeigt habe weiterarbeiten? Und was ist denn jetzt mit den $b$s , wegen der ersten Teilaufgabe? Ersetzen?

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15:59 Uhr, 30.01.2015

"Ersetzen?"

Natürlich nicht. Weißt Du nicht, wie man eine Matrix mit einer Zahl multipliziert?

Aber ich wiederhole - Du musst nicht wissen, wie genau die Einträge in der Matrix aussehen. Wenn Du versuchen würden, mit den Enträgen der Matrix zu arbeiten, wirst Du in absehbarer Zeit keinen Erfolg haben.
Es ist eine rein algebraische Aufgabe. Du musst nur wissen, nach welchen Regeln Matrizen multipliziert werden (miteinander oder mit einer Zahl) und auch wissen, was ein charakteristisches Polynom ist.

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16:02 Uhr, 30.01.2015

Ja, und die Regel

\det (A B) = \det (A) \det (B)

brauchst Du natürlich auch.

D2109 aktiv_icon

16:04 Uhr, 30.01.2015

Nein das meinte ich nicht ich glaube du hast mich falsch verstanden :-)
Die allgemeine Matrix, die ich aufgezeigt habe, hat ja Einträge in denen der Realteil aus den

a_{i j}

s gebildet wird und der Imaginärteil aus den

b_{i j}

s. Bei i) muss ich aber die Matrix wiederum mit einem reellen Skalar

b

multiplizieren, wodurch ja aus den

b

b^{2}

wird... Und ich meinte, ob das auch ok ist oder es besser wäre wenn die Imaginärteile z.B.

c

s wären und dann bei Multiplikation

b \cdot c

stehen würde..

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16:12 Uhr, 30.01.2015

Das ist ziemlich egal, denn wie gesagt - niemand erwartet von Dir, dass Du die Matrix tatsächlich aufschreibst. Damit würdest Du keinem einen Gefallen tun. :-)

Damit Du verstehst, was ich meine, zeige ich Dir den einfachsten Teil - den ersten:

χ_{b A} (x) = \det (x E_{n} - b A) = \det (b (\frac{x}{b} E_{n} - A)) = b^{n} \det (\frac{x}{b} E_{n} - A) = b^{n} χ_{A} (\frac{x}{b})

für

b \neq 0

.
Für

b = 0

ist

b A

eine Null-Matrix mit

χ_{b A} = χ_{0} (x) = x^{n}

.

Das ist alles.

D2109 aktiv_icon

16:32 Uhr, 30.01.2015

Okay alles klar :-)

Wir haben in der Vorlesung die Regel für das charakteristische Polynom gelernt die etwas umgekehrt aussieht, würde auch gerne die verwenden... Also die hier:

χ_{A} (t) := d e t (A - t \cdot E_{n})

.

Bezüglich i) nun: der erste Fall ist also

b \neq 0

. Das charakteristische Polynom von

b \cdot A

wäre dann (wenn ich an deine Lösung denke, ich verstehe auch, warum diese wohl ausreicht) ja

χ_{A \cdot b} (t) = d e t (A \cdot b - t \cdot E_{n}) = d e t (b \cdot (A - \frac{t}{b} \cdot E_{n})) = b^{n} \cdot d e t (A - \frac{t}{b} \cdot E_{n}) = b^{n} \cdot χ_{A \cdot b} (\frac{t}{b})

.

Der zweite Fall:

b = 0

\Rightarrow

b \cdot A = 0_{n n}

\Rightarrow

χ_{A \cdot b} (t) = χ_{0} (t) = d e t (0_{n n} - t \cdot E_{n}) = (- t)^{n}

.

Wäre das für i) auf meine Weise jetzt so richtig? Scheint mir bis jetzt zumindest so :-)

D2109 aktiv_icon

17:15 Uhr, 30.01.2015

Bei ii) bleib ich leider hängen... kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen??

Es gilt ja

B = A^{- 1}

, falls

A

invertierbar ist. Erstmal: Soll ich mit dieser Aussage annehmen, dass

A

invertierbar ist oder muss ich erstmal irgendwie zeigen, dass ein "bestimmtes"

A

invertierbar ist?

Und meine kurze Lösung die ich habe ist folgende:

χ_{B} (t) = d e t (A^{- 1} - t \cdot E_{n}) = χ_{A^{- 1}} (t)

Ist das vollständig oder fehlt da noch was?

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19:23 Uhr, 30.01.2015

"Soll ich mit dieser Aussage annehmen, dass A invertierbar ist"

Das annehmen.
Deine Lösung ist keine. Du brauchst

χ_{A^{- 1}} (t)

durch

χ_{A} (t)

auszudrücken.

D2109 aktiv_icon

19:30 Uhr, 30.01.2015

Das letzte kann ich ja auch umschreiben in

χ_{A} (t)^{- 1}

, dann stünde das

A

allein. Wäre die Lösung dann komplett ?

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19:42 Uhr, 30.01.2015

Wieso glaubst Du, dass Du so umschreiben darfst?
Das ist leider kompletter Unsinn.

D2109 aktiv_icon

20:02 Uhr, 30.01.2015

Na, weil ja gilt wenn

A

invertierbar ist:

d e t (A) \neq 0

. Dann ist

d e t (A^{- 1}) = d e t (A)^{- 1}

und da dachte ich ich kann das hier anwenden weil das charakteristische Polynom ja die Determinante darstellt. Aber scheint wohl nicht so zu sein. Über Tipps wäre ich übrigens sehr dankbar.

D2109 aktiv_icon

20:39 Uhr, 30.01.2015

Kann mir denn keiner weiterhelfen ? :(

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00:43 Uhr, 31.01.2015

Richtig wäre

χ_{A^{- 1}} (t) = \det (A^{- 1} - t E_{n}) = \det (A^{- 1} - t A^{- 1} A) = \det (A^{- 1} (E_{n} - t A)) = \det (A^{- 1}) \det (E_{n} - t A) =

= \det (A^{- 1}) \det ((- t) (A - E_{n} / t) = (- t)^{n} \det (A^{- 1}) \det (A - E_{n} / t) = (- t)^{n} \det (A^{- 1}) χ_{A} (t)

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00:55 Uhr, 31.01.2015

Und in iii) nutze

A^{2} - t^{2} E_{n} = (A - t E_{n}) (A + t E_{n})

D2109 aktiv_icon

11:11 Uhr, 31.01.2015

Eine Frage: Im letzten Teil heißt es ja

d e t (A - \frac{E_{n}}{t})

. Wie komme ich dadurch denn auf

χ_{A} (t)

? Sollte es denn nicht dafür

d e t (A - E_{n} \cdot t)

heißen ? Wegen genau diesem Schritt bin ich gestern nicht weitergekommen.
Wenn ich ferner das

(- t)^{n}

da reinziehen würde würde es heißen

d e t (E_{n} - A \cdot t)

, aber das steht doch nicht für's charakteristische Polynom? Sondern

d e t (A - E_{n} \cdot t)

oder

d e t (E_{n} \cdot t - A)

, oder nicht .. ?

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11:13 Uhr, 31.01.2015

Sorry, ich habe einen Fehler gemacht, es muss

\det (A - E_{n} / t) = χ_{A} (1 / t)

heißen.

D2109 aktiv_icon

11:23 Uhr, 31.01.2015

iii) lautet bei mir so:

χ_{A^{2}} (t) = d e t (A^{2} - t^{2} \cdot E_{n}) = d e t ((A - t \cdot E_{n}) \cdot (A + t {\dot{E}}_{n})) = d e t (A - t \cdot E_{n}) \cdot (A + t \cdot E_{n}) = d e t (A + t \cdot E_{n}) \cdot χ_{A} (t)

.

Kann/muss man das

d e t (A + t \cdot E_{n})

noch weiter umschreiben?

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11:29 Uhr, 31.01.2015

\det (A + t E_{n}) = χ_{A} (- t)

Aber am Anfang kannst Du nicht

χ_{A^{2}} (t) = \det (A^{2} - t^{2} E_{n})

schreiben, dass passt nicht.

χ_{A^{2}} (t) = \det (A^{2} - (\sqrt{t})^{2} E_{n})

- so kann man das machen, nur muss man festlegen, welchen Wurzel man nimmt. Hoffentlich ist dir die Problematik der komplexen Wurzeln bekannt.

D2109 aktiv_icon

11:55 Uhr, 31.01.2015

Ja, bzw. dass man manchmal mit Polarkoordinaten rechnen muss usw., wenn du das meinst. Zum Beispiel halt.

Reicht es dann, wenn man sagt

t \in ℝ

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12:30 Uhr, 31.01.2015

Nein, reicht nicht. Wenn Du komplexe Matrizen hast, ist auch

t

komplex.

D2109 aktiv_icon

14:49 Uhr, 31.01.2015

Welche Fälle können hier bei der Wurzel denn dann auftreten?

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17:25 Uhr, 31.01.2015

Es können keien Fälle auftreten, nur man kann im komplexen nicht so einfach

\sqrt{t}

schreiben, denn es gibt zwei Zweige dieser Funktion, also muss man sich zuerst auf einen Zweig festlegen. Aber das ist schon Funktionentheorie und es wird vermutlich nichts so tiefgehendes in dieser Aufgabe erwartet. Also kann man vermutlich einfach

\sqrt{t}

schreiben und im Kopf behalten, dass damit ein Zweig der Wurzel gemeint ist (z.B. der Hauptzweig, es macht keinen Unterschied, welchen man nimmt).

D2109 aktiv_icon

17:29 Uhr, 31.01.2015

Alles klar vielen lieben Dank! Dann ist die Aufgabe jetzt gelöst :-)

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