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Komplexe Mengen zeichnen

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Tags: Inversionsabbildung, mengen

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:43 Uhr, 12.01.2015

Moin!

Skizzieren Sie die nachstehend Mengen

M

und

f (M \ {0})

(mit Begründung), wobei

f (z) := \frac{1}{z} (z \in ℂ \ {0})

die Inversionsabbildung bezeichnet.

1) M_{1} := K (3,3)

2) M_{2} := K (1 + i, \sqrt{2})

3) M_{3} := {1 + i + (i - 1) t^{2} | t \in ℝ}

4) M_{4} := {z \in ℂ | R e (z) = \frac{π}{2}}

M_{1}

ist doch ein Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse bei 3 und Radius 3? Und die Menge ist der Inhalt in dem Kreis ohne Rand? Oder mit? Nehme an ohne, weil keine eckigen Klammern da sind?

M_{2}

gleiches Prinzip nur Mittelpunkt bei

1 + i

? Radius

\sqrt{2}

? Menge das was im Kreis ist ohne Rand?

Bei

M_{3}

weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

1 + i

weit könnte ich gehen, dann aber

(i - 1) \cdot t^{2}

mit

t \in ℝ

mhm

i - 1

ist auch kein Problem eig aber multipliziert mit etwas Unbekannten? Da weiß ich nicht weiter

: (

M_{4}

ist für mich eine Gerade bei

\frac{π}{2}

parallel zur imaginären Achse?

Gracias und liebe Grüße

Chica-Rabiosa

Edit:

PS: Was hat es mit dem

f (z) = \frac{1}{z}

auf sich? Ich verstehe nicht wieso es erwähnt ist und was das mit der Aufgabe zu tun hat?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:02 Uhr, 12.01.2015

. .

. zu

M_{3} :

1 + i + (i - 1) \cdot t^{2} = 1 + i + i \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} = (1 - t^{2}) + (1 + t^{2}) \cdot i

Dies ist die Parameterdarstellung von

z = x + y \cdot i

mit

x = (1 - t^{2})

und

y = (1 + t^{2})

Aus

x = (1 - t^{2})

ergibt sich

t^{2} = 1 - x

und dies eingesetzt in

y = (1 + t^{2})

ergibt

y = 2 - x

Nun hast du den Verlauf des Graphen bzw. der Punktmenge in der komplexen Ebene.

;-)

Edddi aktiv_icon

12:33 Uhr, 12.01.2015

und unter

f (z) = \frac{1}{z}

verstehe ich die Inversionsabbildung am E.-Kreis der kompl. Ebene.

Es ist

z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2} \Rightarrow z = \frac{{| z |}^{2}}{\bar{z}} \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{| z |}^{2}}

Der Kehrwert einer komplexen Zahl wird also erstmal konjugiert (Spiegelung an der reellen Zahlenachse) und danach mit dem Faktor

{| z |}^{2}

skaliert. Dies entspricht einer gestauchten bzw. gestreckten Spiegelung am Einheitskreis.

Somit ergäbe sich

z . B

. für jedes

z = \frac{π}{2} + b \cdot i

als Punkt der Menge

M_{4} :

\frac{1}{z} = \frac{1}{\frac{π}{2} + b \cdot i} = \frac{\frac{π}{2} - b \cdot i}{(\frac{π}{2} + b \cdot i) \cdot (\frac{π}{2} - b \cdot i)} = \frac{\frac{π}{2} - b \cdot i}{{(\frac{π}{2})}^{2} + b^{2}}

= \frac{\frac{π}{2}}{{(\frac{π}{2})}^{2} + b^{2}} - \frac{b}{{(\frac{π}{2})}^{2} + b^{2}} \cdot i

Auch hier haben wir wiedr den Parameter

b,

so das wir den Kurvenverlauf für alle

b

so umstellen können:

x = \frac{\frac{π}{2}}{{(\frac{π}{2})}^{2} + b^{2}} \Rightarrow \frac{\frac{π}{2}}{x} - {(\frac{π}{2})}^{2} = b^{2}

einsetzen in

y = \frac{b}{{(\frac{π}{2})}^{2} + b^{2}}

liefert

y = \pm \frac{\sqrt{\frac{\frac{π}{2}}{x} - {(\frac{π}{2})}^{2}}}{{(\frac{π}{2})}^{2} + (\frac{\frac{π}{2}}{x} - {(\frac{π}{2})}^{2})}

y = \pm \frac{\sqrt{\frac{\frac{π}{2}}{x} - {(\frac{π}{2})}^{2}}}{\frac{\frac{π}{2}}{x}}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot x \cdot \sqrt{\frac{\frac{π}{2}}{x} - {(\frac{π}{2})}^{2}}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot \sqrt{\frac{π}{2} \cdot x - {(\frac{π}{2} \cdot x)}^{2}}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot \sqrt{- ({(\frac{π}{2} \cdot x)}^{2} - \frac{π}{2} \cdot x)}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot \sqrt{- ({(\frac{π}{2} \cdot x)}^{2} - \frac{π}{2} \cdot x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} - ({(\frac{π}{2} \cdot x)}^{2} - \frac{π}{2} \cdot x + \frac{1}{4})}

y = \pm \frac{2}{π} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{π}{2} \cdot x - \frac{1}{2})}^{2}}

. .

. dies wäre also ein kleiner Kreis im Einheitskreis.

(siehe Grafik)

;-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:58 Uhr, 12.01.2015

Hm das muss ich mir mal auf der Zunge zergehen lassen.
Stimmen denn die anderen Überlegungen?

rundblick aktiv_icon

13:41 Uhr, 12.01.2015

.

die Abbildung

f (z) = \frac{1}{z}

ist .. wie man so schön sagt.. kreistreu

dh Kreise werden auf Kreise abgebildet (das kann man leicht allgemein zeigen)

Geraden der GaussEbene sind spezielle Kreise
(sie gehen durch den Fernpunkt

\infty

der Ebene )

das Bild des Fernpunktes ist der Ursprung .. also

f (\infty) = 0 .

. (und umgekehrt)

damit kannst du das Bild der Geraden

M_{4}

leicht ermitteln

\to

es ist ein Kreis durch den Ursprung und durch den Punkt

(\frac{2}{π}; 0)

\to

denn

f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{π}

also ist das Bild von

M_{4}

der Kreis um den Mittelpunkt

(\frac{1}{π}; 0)

und dem Radius

r = \frac{1}{π}

fertig (die Kreisgleichung kannst du ja jetzt mühelos auch noch notieren)
und du kannst es dir nun auf der Zunge zergehen lassen ..

\to

so einfach ist das !

.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

13:56 Uhr, 12.01.2015

Hm arme Zunge so viel raue Kost :-P)

So wie ich verstehe ist dann

R e (z) = \frac{π}{2}

entsprechend zu

(\frac{π}{2}, 0)

?

Aber das ist ja nach deiner Aussage falsch, denn bei dir ist's ja

(\frac{1}{π}, 0)

Und wie kommt man dann auf den Radius

r = \frac{1}{π}

?

Ich dachte immer es gilt so:

(Mittelpunkt, Radius)

Und da wäre für mich Radius Null?

Mh.

LG

Chica-rabiosa

PS: Ist das nicht Möbiustransformation?

rundblick aktiv_icon

14:58 Uhr, 12.01.2015

.
frau !

\to

die Gerade

M_{4}

mit der Gleichung

\to

Re(z)=

\frac{π}{2}

schneide die reelle Achse im Punkt

A (x_{A}; y_{A}) = A (\frac{π}{2}; 0) . .

. .

. so zu lesen

\to

A liegt auf der x-Achse herum und hat die

K o o r d i n a t e n \to x_{A} = \frac{π}{2}

und

y_{A} = 0

der bei

f (z) = \frac{1}{z}

entstehende Bildpunkt von A sei

A'

und
hat dann also die Koordinaten

A' (\frac{2}{π}; 0) . .

. (irgendwie klar - oder? )

der Bildkreis

f (M_{4})

geht also durch den Nullpunkt

O (0; 0)

und durch

A'

und es ist ( zB aus Symmetriegründen) die Strecke

\bar{O A'}

ein
Durchmesser

d = \frac{2}{π}

des Bildkreises

also liegt der Mittelpunkt

N

des Kreises in der Mitte der Strecke

\bar{O A'}

(wenig verwunderlich - oder?)

\to

im Punkt

N (\frac{1}{π}; 0)

und da der Durchmesser eines Kreises doppelt so gross ist wie dessen Radius

r .

.
ist nun halt

\to r = \frac{d}{2} = \frac{1}{π}

wo ist denn da noch ein Problem?

für die Bildpunktmenge

f (M_{4})

gilt also die Kreis-Gleichung

\to | z - \frac{1}{π} | = \frac{1}{π}

ok?
.

und dazu:
"PS: Ist das

n i c h t

Möbiustransformation?"

\to

ja , das ist es

\to N I C H T!!

es ist eine Inversion am EK und dann noch eine Spiegelung an der reellen Achse
mach dich halt endlich selbst noch etwas kundig und google (Inversion)
zB

http//de.wikipedia.org/wiki/Kreisspiegelung
usw..

da kannst du dann auch nachlesen,
WIE du deine Aufgabe eigentlich richtig lösen solltest:

siehe deine Titel-Überschrft:
" Komplexe Mengen ZEICHNEN "
.. und Konstruktionen gehen mit Zirkel und Lineal
und: fleissiger Edddi : da wird dann nichts gerechnet !
.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:48 Uhr, 13.01.2015

Dann sind meine ersten zwei Mengen falsch, da habe ich ja keine Inversionsabbildung gemacht, oder ist diese nur für

M_{4}

gedacht?

f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{π}

verstehe ich ja aber dann sagt Rundblick:
„ also ist das Bild von

M_{4}

der Kreis um den Mittelpunkt

(\frac{1}{π}; 0)

und dem Radius r=1/pi“

Dann wurde mir immer gesagt (Erster Eintrag Mittelpunkt, zweiter Eintrag Radius)

Ich sehe auch nicht wieso der Bildkreis durch den Nullpunkt gehen sollte, weil ich nicht weiß was der Radius ist. Wie man auf den Durchmesser

d = \frac{2}{π}

kommt weiß ich nicht, das ist für mich der Mittelpunkt. Wenn ich falsch liege brauche ich eine neue Erklärung bitte, ich würde es echt gerne verstehen.

Edddi aktiv_icon

09:01 Uhr, 13.01.2015

Aufgrund der Symmetrie von

z = \frac{π}{2} + a \cdot i

ist damit auch die Inversivabbildung (Gerade wird zu Kreis) symmetrisch zur x-Achse.

Der entfernteste Punkt der Geraden ist vom Ursprung

\infty

weit entfernt und wird somit im Ursprung abgebildet.

Der nächste (von Nahe!) Punkt liegt auf der x-Achse bei

\frac{π}{2}

. Abgebildet wird dieser ja auch af der x-Achse und zwar bei:

\frac{\bar{z}}{{| z |}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{π}{2})}^{2}} \cdot (\frac{π}{2} + 0 \cdot i) = \frac{2}{π}

.

Der symm. Kreis geht also durch 0 und

\frac{2}{π}

(Durchmesser), also liegt der Mittelpunkt des Kreises bei

\frac{\frac{2}{π}}{2} = \frac{1}{π}

was dann auch sein Radius ist.

;-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:12 Uhr, 13.01.2015

Da blicke ich einfach nicht durch... sry beim Betrag ist auch ein Fehler glaube ich da fehlt das

a

.

Nichtsdestotrotz hat mit der Wikipediaartikel nicht viel gebracht, da gibt es nicht mal ein Beispiel an dem ich mich orientieren kann

: (

Edddi aktiv_icon

09:30 Uhr, 13.01.2015

. .

. hier ma 'ne Skizze.

wie du siehst (gerundet): es gilt

0,28 = \frac{1}{3,61}

und

0,54 = \frac{1}{1,84}

und

0,64 = \frac{1}{1,57}

was

\frac{2}{π} = \frac{1}{\frac{π}{2}}

entsprechen soll.

Gespiegelt wird also, indem du den Punkt mit dem Ursprung verbindest (blaue Linie) und der Betrag des gespiegelten Punktes entspricht dem reziproken Wert des Ur-Punktes.

;-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:41 Uhr, 13.01.2015

"Gespiegelt wird also, indem du den Punkt mit dem Ursprung verbindest (blaue Linie) und der Betrag des gespiegelten Punktes entspricht dem reziproken Wert des Ur-Punktes."

Den Punkt, weiß nicht welchen und eine blaue Linie sehe ich leider nicht

: (

Edddi aktiv_icon

10:09 Uhr, 13.01.2015

.. die Farben sind schwer zu erkennnen, die blauen Linien sollen die sein, welche vermaßt sind. Dabei liegt ja eine davon auf der x-Achse zum Punkt

\frac{π}{2}

.

Dies entspräche

z = \frac{π}{2} + 0 \cdot i

Der Betrag von

z

ist ja dann auch

| z | = \frac{π}{2}

Der Kehrwert des Betrages ist dann bei

\frac{1}{| z |} = \frac{1}{\frac{π}{2}} = \frac{2}{π}

Dieser Punkt liegt ganz rechts auf dem roten Kreis, also auf der Verb.-linie Ursprung->

\frac{π}{2} + 0 \cdot i

Anders beim Punkt

\frac{π}{2} + 0,96 \cdot i

.

Dessen Betrag ist

| z | = 1,84

Der Kehrwert des Betrages ist dann bei

\frac{1}{| z |} = \frac{1}{1,84} = 0,54

Dieser Punkt liegt ja auf dem oberen Halbkreis auf der eingezeichneten (blauen) Verbindungslinie.

Dito beim 3. dargestellten Punkt

(2

. schräge blaue Linie mit

3,61

Vermaßung)

;-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:26 Uhr, 13.01.2015

Ich verstehe das alles nicht...

| z | = \frac{π}{2}

okay, Kehrwert auch. Aber was sollen die ganzen anderen Zahlen...

Die ersten beiden sind dann nur

M

ich muss zu diesen noch

f (M \ {0})

skizzieren...
Die Kreise sind ja so an sich von mir richtig gezeichnet, wie bilde ich jetzt

f (M_{1} \ {0})

und

f (M_{2} \ {0})

Ich muss doch irgendeinen Punkt auf dem Kreis auswählen und diesen dann invertieren?

Edddi aktiv_icon

13:04 Uhr, 13.01.2015

. .

. wie Rundblick schon schrieb, man findet alles unter "Kreisspiegelung" bei Wiki.

Hab's dir aber nochmal für einen beliebigen Kreis skizziert. Die Kreismenge liegt dann natürlich auch innerhalb des Randes, du musst ihn dann also nur ausmalen.

Da ein Kreis ein Kreis bleibt musst du nur der nächsten und entferntesten Punkt bestimmen, diese spiegeln und dann den Kreis zwischenpacken (Der Mittelpunkt des Kreises liegt natürlich genau mittig zwischen den beiden inversen Punkten - so kannst du den inversen Kreis konstruieren)

;-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

13:53 Uhr, 13.01.2015

"Da ein Kreis ein Kreis bleibt musst du nur der nächsten und entferntesten Punkt bestimmen, diese spiegeln und dann den Kreis zwischenpacken (Der Mittelpunkt des Kreises liegt natürlich genau mittig zwischen den beiden inversen Punkten - so kannst du den inversen Kreis konstruieren)"

Was ist der nächste und was ist der entfernteste Punkt?

Und was ist mit meinen ganzen Fragen bzgl.

M_{1}

und

M_{2} : (

Ich kriege nie antworten darauf:(

Edddi aktiv_icon

15:41 Uhr, 13.01.2015

. .

. versuchst du die Beiträge auch mal nach zu vollziehen?

Bei

M_{1}

und

M_{2}

handelt es sich doch um Kreismengen! Diese bekommst du wohl auch hin.
Die Inversionsabbildung erhälst du durch Spiegelung am Einheitskreis und eventuell Spiegelung an der reellen Achse wenn keine Achsensymmetrie der Urmenge vorliegt.

Wenn du einen Kreis in der Ebene hast, dann ist der entfernteste Punkt (vom Ursprung aus) der, der auf der Verbindungslinie Ursprung

\to

Mittelpunkt Kreis

\to

bis Kreisperipherie am weitesten vom Ursprung entfernt ist.

Und die Inversivmengen sollen für ALLE Mengen bestimmt werden. Ich skizziere dir mal

M_{1}, f (M_{1}

{

0}), M_{3}

und

f (M_{3}

{

0})

Chica-Rabiosa aktiv_icon

19:23 Uhr, 13.01.2015

Ich sehe einfach nicht welche Punkte du da nimmst und wie du das invertierst? Das ist allgemein irgendwie oder ich bin einfach zu dumm, vllt verwechsle ich es auch mit der Möbiustransformation, wo Kreise mit Mittelpunkt auf der reellen Achse, die den Nullpunkt berühren auf Geraden abgebildet werden, so haben wir das in der Vorlesung gelernt vor Weihnachten aber naja

: (

Edddi aktiv_icon

10:32 Uhr, 14.01.2015

. .

. so schau' dir doch bitte mal die erste Grafik in meinem vorigen Beitrag an.

Die Menge

M_{1}

ist ein Kreis mit Mittelpunkt auf reeller Achse und berührt den Nullpunkt. (blaue Kreismenge)

Diese wird abgebildet auf senkrechte Gerade (die durch

P'

geht).

P'

kannst du nun entweder berechnen (Kehrwert des am weitesten entfernten Punktes des blauen Kreises (bei

x = 6),

somit liegt

P'

bei

x = \frac{1}{6}

.

Oder durch Konstruktion - vom weitesten Punkt Tangente an Einh.-Kreis. Der Ber.-pkt. der Tangente ist in unserem Fall mit dem Schnittpunkt des E.-kreises identisch. Wir müssen also nur die Schnittpunkte

S

und

Q

mit dem E.-kreis verbinden und erhalten so

P'

welcher dann auch bei

\frac{1}{6}

liegt. (Kannst du mit Pythagoras nachrechnen)

Punkte die auf dem Einheitskreis liegen bleiben ja auch unverändert. Damit haben wir 3 Punkte

P', S

und

Q

gegeben. Alla anderen Punkte liegen natürlich auf der Geraden durch diese 3 Punkte. (Eigentlich ist diese Gerade ein unenlich großer Kreis)

Für Kreisflächen verhält es sich analog, hier wird die Kreisfläche auf die gesamte Fläche im 1. und 2. Quadranten ab

P'

abgebildet.

;-)

Gwunderi aktiv_icon

11:54 Uhr, 14.01.2015

Zu 3)
Habe es rein zeichnerisch gelöst und da sieht man doch, dass die Lösung nicht die ganze Gerade y = -x + 2 ist, sondern nur von

- \infty

bis x=1.

Da

t \in R

, ist

t^{2}

immer

\geq 0

und

(i - 1) t^{2}

entspricht der grünen Geraden oder genauer Strahl. Die Resultierende ist der rote Strahl.

@Edddi
Kann Deine Berechnungen noch nicht so ganz nachvollziehen, denke aber, man kann das auch rechnerisch zeigen, dass Du etwas "Unerlaubtes" gerechnet hast? An den übrigen Aufgaben kann ich mir dann später einmal die Zähne dran rausbeissen, bin noch nicht so weit : )

Edddi aktiv_icon

12:13 Uhr, 14.01.2015

Hallo Gwunderi,

stimmt, da hab ich wohl den Def.-bereich nicht berücksichtigt.

Aus der Paramaterdarstellung von

x = (1 - t^{2}) \Rightarrow t^{2} = 1 - x

ergibt sich ja:

Wegen

t^{2} \geq 0 \Rightarrow 1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1

;-)

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