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Komplexe Nst. eines Polynoms ohne reelle Nst.

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Komplexe Zahlen

Tags: Funktion, Komplexe Nullstellen, Komplexe Zahlen, ohne Rechner, polynom, Polynom Grad

Sosososo4 aktiv_icon

18:16 Uhr, 21.05.2018

Folgende Aufgabe soll ich ohne Taschenrechner lösen können und es bereitet mir imenses Kopfzerbrechen.

"Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms und stellen Sie sie in arithmetische Normalform a+bj dar.

p (x) = x^{6} - 4 x^{5} + 13 x^{4} + 4 x^{2} + 16 x + 52

*Hinweise:

p (x)

hat keine reellen Nullstellen und die Nullstelle

x 1 = 2 + 3 i

ist gegeben."

Mein bisheriger Ansatz besteht darin, dass ich

x 2 = 2 - 3 i

bestimmt habe, da

p (x)

keine imaginären Koeffizienten hat. Aber danach holperts, da ich mit dem rein komplexen Nst. weder Polynomdivison noch das Horner-Schema anwendenn kann und das Newtonverfahren ohne GTR schlecht funktioniert, bzw. keine Näherungslösungen gesucht sind.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, hab nächsten Montag die Prüfung.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

18:25 Uhr, 21.05.2018

Teile es durch

(x - 2 - 3 i) (x - 2 + 3 i) = (x - 2)^{2} + 9 = x^{2} - 4 x + 13

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 21.05.2018

.
"Ich hoffe ihr könnt mir helfen, hab nächsten Montag die Prüfung."

@Sosososo4 :

\to

Mir scheint, du warst nicht in der Lage , dein

p (x)

fehlerfrei aufzuschreiben !

\to

hier also erste Hilfe:
korrigiere bitte zuerst noch deinen Vorzeichenfehler

\to . .

.

und schau dir dann (alternativ zur vorgeschlagenen Polynomdivision) die beiden
vorhandenen Terme

(.

. dh

\to x^{2} - 4 x + 13 .

. und das richtige

p (x) . .)

möglichst
noch vor dem nächsten Montag ! ganz genau an ..
.

Sosososo4 aktiv_icon

19:43 Uhr, 21.05.2018

Oh ja danke, hatte ich gar nicht gesehen

Sosososo4 aktiv_icon

20:00 Uhr, 21.05.2018

Ich weiß leider nicht, wie man die Frage bearbeitet, aber das richtige Polynom ist

p (x) = x^{6} - 4 x^{5} + 13 x^{4} + 4 x^{2} - 16 x + 52

Und zu dem Teil mit dem genau ansehen, ich hab schon verstanden, dass ich noch zwei weitere Polynome 2. Grades brauche um

p (x)

mit

x^{2} - 4 x + 13

darstellen zu können, aber ich verstehe nicht, wie genau ich auf diese komme. WolframAlpha liefert mir

x^{2} - 2 x + 2

und

x^{2} + 2 x + 2,

aber ich weiß nicht woher.

DrBoogie aktiv_icon

20:07 Uhr, 21.05.2018

Multipliziere

x^{2} - 4 x + 13

mit

x^{4}

und vergleiche mit dem gegebenen Polynom. ;-)

Sosososo4 aktiv_icon

20:18 Uhr, 21.05.2018

Vielen Dank jetzt hab ich es.
Ich hab schon geahnt, dass ich wieder was komplett offensichtliches übersehen habe.

Vielen, vielen Dank euch beiden, ihr habt mir auf jeden Fall den Abend gerettet und ich mach mich jetzt gleich mal die nächste Aufgabe.

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