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Komplexe Reihe - Konvergenz überprüfen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Konvergenz

Trsprob12 aktiv_icon

21:10 Uhr, 12.11.2018

Folgende komplexe Reihe ist auf Konvergenz zu untersuchen:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{i^{k}}{k}

Habe mir gedacht, ich wende mal das Quotientenkriterium an.
Komme dann aufs Ergebnis

| 1 \cdot i |

Könnte mir jemand sagen, was ich nun damit weiter mache

+

grundlegende Erklärung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

21:48 Uhr, 12.11.2018

Hallo,

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{i^{k}}{k}

= \frac{1}{1} \cdot i - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot i + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \cdot i - \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \cdot i + \frac{1}{8} \pm . .

.

Schauen wir uns mal an, wie der Realteil sich entwickelt:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8} \pm . .

= - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm ...)

= - \frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k}

Der Realteil konvergiert gegen das -1/2-fache der alternierenden harmonischen Reihe.

Und der Imaginärteil:

\frac{1}{1} \cdot i - \frac{1}{3} \cdot i + \frac{1}{5} \cdot i - \frac{1}{7} \cdot i

\leq \frac{1}{1} \cdot i - \frac{1}{2} \cdot i + \frac{1}{4} \cdot i - \frac{1}{6} \cdot i

= i - \frac{1}{2} \cdot i \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k}

Damit ist der Imaginärteil auch konvergent, das endgültig zu zeigen überlasse ich Dir.

Trsprob12 aktiv_icon

22:05 Uhr, 12.11.2018

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Das mit dem Realteil ist verständlich (kann ich mit Leibnitz beweisen)

Das mit dem Imaginärteil wirft für mich noch eine Frage auf.
Die

i

davor - was sagen die uns? Kann man die schließlich außer Acht lassen, wenn man weiß, dass die nachstehende Summe konvergiert?

i - \frac{1}{2} \cdot i \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k}

Bummerang

22:12 Uhr, 12.11.2018

Hallo,

die

i

haben doch nichts mit der Reihe zu tun! Die Reihe stellt letztendlich eine reele Zahl dar. Das

i

davor ist eine Konstante.

Trsprob12 aktiv_icon

23:27 Uhr, 12.11.2018

Perfekt, danke dir!

Das bedeutet, ich versuche die ursprüngliche Reihe immer auf einen Realteil und Imaginärteil zurückzuführen. Dann hebe ich die Konstanten

i

raus, dass ich Konvergenz beweisen kann.

Wann genau kommen dann Konvergenzkriterien zum Einsatz bei den Komplexen Reihen?

Trsprob12 aktiv_icon

23:27 Uhr, 12.11.2018

Perfekt, danke dir!

Das bedeutet, ich versuche die ursprüngliche Reihe immer auf einen Realteil und Imaginärteil zurückzuführen. Dann hebe ich die Konstanten

i

raus, dass ich Konvergenz beweisen kann.

Wann genau kommen dann Konvergenzkriterien zum Einsatz bei den Komplexen Reihen?

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