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Komplexe Ungleichung, Gaußsche Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gausssche Zahlenebene, Komplexe Zahlen

Sven1 aktiv_icon

14:39 Uhr, 23.01.2017

Hi,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe

∣ z - 2 ∣ < ∣ 2 z - 1 ∣

Die Aufgabe lautet: Skizzieren sie jeweils in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z, die die angegebene Ungleichung angeben.

Leider gibt es keinerlei Lösung zu dieser Aufgabe mit der ich mein Ergebnis kontrollieren könnte.

Ich bin jetzt erstmal so vorgegangen:

∣ z - 2 ∣ < ∣ 2 z - 1 ∣ = ∣ z - 2 ∣^{2} < ∣ 2 z - 1 ∣^{2}

= (z - 2) * \bar{(z - 2)} < (2 z - 1) * \bar{(2 z - 1)}

= (z - 2) * (\bar{z} + 2) < (2 z - 1) * (2 \bar{z} + 1)

= z \bar{z} + 2 z - 2 \bar{z} - 4 < 4 z \bar{z} + 2 z - 2 \bar{z} - 1

= - 3 < 3 z \bar{z}

= - 1 < z \bar{z}

= - 1 < ∣ z ∣^{2}

= (z - i) * (z + i) > 0

Ist das soweit richtig und sieht die Skizze dann ungefähr so aus wie im Bild ?

Die schraffierte Fläche soll die Menge aller komplexer Zahlen z sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sven1 aktiv_icon

14:41 Uhr, 23.01.2017

Irgendwie bekomme ich das Bild nicht angefügt...

rundblick aktiv_icon

15:01 Uhr, 23.01.2017

.
" Ist das soweit richtig ?

... ... ... . .

<

NEIN

gleich zu Beginn

\to

erster Fehler

\to

(z - 2) \cdot (\bar{z - 2}) \neq (z - 2) \cdot (\bar{z} + 2)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

^.

.

usw, usw,

. .

.

.

Sven1 aktiv_icon

15:31 Uhr, 23.01.2017

(z - 2) * (\bar{z - 2}) = (z - 2) * (\bar{z} - 2)

So müsste es stimmen oder ?

rundblick aktiv_icon

15:37 Uhr, 23.01.2017

.
" So müsste es stimmen oder ? "

\to

ja, schon besser - also merze jetzt deinen nächsten Fehler aus

. .

\to . .

.

.

Atlantik aktiv_icon

16:16 Uhr, 23.01.2017

Geht es so auch? ( Allerdings ohne Skizze Gaußsche Zahlenebene.)

| z - 2 | < | 2 z - 1 |

\sqrt{{(z - 2)}^{2}} < \sqrt{{(2 z - 1)}^{2}} |^{2}

{(z - 2)}^{2} < {(2 z - 1)}^{2}

z^{2} - 4 z + 4 < 4 z^{2} - 4 z + 1

z^{2} + 4 < 4 z^{2} + 1

- 3 z^{2} < - 3 | : (- 3)

z^{2} > 1

z > 1

z < - 1

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

16:19 Uhr, 23.01.2017

.
"Geht es so auch?"

\to

sorry, Atlantik - aber das ist langsam echt peinlich was du da bietest..

.

Bummerang

16:25 Uhr, 23.01.2017

Hallo Atlantik,

"Geht es so auch?"

NEIN

!!!

| z - 2 |

und

| 2 \cdot z - 1 |

sind reelle Zahlen, die man vergleichen kann, aber

\sqrt{{(z - 2)}^{2}}

und

\sqrt{{(2 \cdot z - 1)}^{2}}

sind reelle Zahlen, die man so nicht vergleichen kann. Schon allein deshalb ist

| z - 2 | \neq \sqrt{{(z - 2)}^{2}}

| 2 \cdot z - 1 | \neq \sqrt{{(2 \cdot z - 1)}^{2}}

denn die rechte Seite ist für

z \in ℂ \ ℝ

keine reelle Zahl!

Atlantik aktiv_icon

16:27 Uhr, 23.01.2017

Also verstehe ich es dann richtig, wenn die ganze Aufgabe in

ℝ

gestellt ist,wäre meine Lösung richtig?

mfG

Atlantik

Bummerang

16:32 Uhr, 23.01.2017

Hallo,

die Lösung wäre für reelle Zahlen richtig, aber hier gibt es komplexe Zahlen!

Atlantik aktiv_icon

16:33 Uhr, 23.01.2017

In Ordnung. Danke!

Sven1 aktiv_icon

17:42 Uhr, 23.01.2017

So neuer Versuch.

\Rightarrow ∣ z - 2 ∣ < ∣ 2 z - 1 ∣

\Rightarrow ∣ z - 2 ∣^{2} < ∣ 2 z - 1 ∣^{2}

\Rightarrow (z - 2) * (\bar{z} - 2) < (2 z - 1) * (2 \bar{z} - 1)

\Rightarrow z \bar{z} - 2 z - 2 \bar{z} + 4 < 4 z \bar{z} - 2 z - 2 \bar{z} + 1

\Rightarrow z \bar{z} + 4 < 4 z \bar{z} + 1

\Rightarrow 3 < 3 z \bar{z}

\Rightarrow 1 < z \bar{z}

∣ z ∣^{2} > 1

so?

rundblick aktiv_icon

17:54 Uhr, 23.01.2017

.
ja

\to

zB so !

?

\to

welche Punktmenge hast du mit

\to {| z |}^{2} > 1

also wenn: ..

z = x + i y .

. mit

\to x^{2} + y^{2} > 1

kannst du jetzt die Menge aller Punkte

z = (x, y)

in der GaussEbene beschreiben ,
die deine geg. Ungleichung

\to | z - 2 | < | 2 z - 1 |

erfüllen ?

?

\to ...

Sven1 aktiv_icon

19:00 Uhr, 23.01.2017

Grob skizziert müsste es doch so aussehen?

Es soll eine Parabel darstellen.

rundblick aktiv_icon

19:10 Uhr, 23.01.2017

.
"Es soll eine Parabel darstellen"

\to

wie kommst du denn auf diese lustige aber leider abwegige Idee?

schau dir also mal den gerade nicht mehr zur Lösungsmenge gehörende
Rand genauer an ..der hat die Gleichung