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Komplexe Zahl in karthesischer Form und Polarform

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Komplexe Zahlen, Polardarstellung

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21:27 Uhr, 16.11.2019

Ich habe folgende Komplexe Zahl und muss diese einmal in Normalform ausrechnen und in Polardarstellung (Formel von Euler)

{(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2}

Nun habe ich folgendermaßen gerechnet für Normalform:

\frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = {(2 \frac{i}{2})}^{2} = - 1

Mit Formel von Euler:

\frac{\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{π}{4}}}{\sqrt{2} \cdot e^{- i \cdot π \frac{7}{4}}} = {(1 \cdot e^{i \cdot \frac{8}{4} \cdot π})}^{2} = 1 \cdot e^{i \cdot 4 \cdot π}

\to

was ja gleich zwei volle umdrehungen sind also auf der x-achse auf

+ 1

liegt. Somit habe ich ein anderes Ergebnis als bei der Normalform und ich verstehe nicht warum

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:52 Uhr, 16.11.2019

.
" und ich verstehe nicht warum "

deshalb:

1 - i

ist nicht

\sqrt{2} \cdot e^{- \frac{7}{4} π \cdot i}

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22:10 Uhr, 16.11.2019

Ich sehe den Fehler nicht, habe ich die Wurzel falsch ausgerechnet?

rundblick aktiv_icon

22:15 Uhr, 16.11.2019

.
nochmal: der Fehler ist doch gleich zu Beginn :

du hast bei

\frac{1 + i}{1 - i}

den Nenner falsch in Polarform umgestellt ..

.

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22:32 Uhr, 16.11.2019

Das einzigste was sich im Nenner ändert ist ja das - vor dem imaginärteil, sollte ja also stimmen?

rundblick aktiv_icon

22:43 Uhr, 16.11.2019

1 - i = \sqrt{2} \cdot e^{+ \frac{7}{4} π \cdot i}

oder

1 - i = \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} π \cdot i}

und dann hast du zu Beginn auch noch die Klammer mit dem Quadrat dir gespart :-)

also

\to {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2} = {(\frac{\sqrt{2} \cdot e^{\frac{1}{4} π \cdot i}}{\sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} π \cdot i}})}^{2} = . .

.

ok?

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22:51 Uhr, 16.11.2019

Ahhhh, da hatte ich einen Denkfehler. Ist halt doch schon spät, danke!

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