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Komplexe Zahl in x + iy darstellen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

GenOsi32 aktiv_icon

20:13 Uhr, 19.10.2021

Hallo!

Ich bräuchte hier ganz kurz Hilfe und zwar lautet die Aufgabe wie gefolgt:

Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form

x + i \cdot y

mit

x, y

∈

R

dar:

(3 + 2 i) - i \cdot (4 - 2 i)

Bestimmen Sie auch die Beträge dieser komplexen Zahlen.

Ich habe gelesen, dass sich solche Aufgaben so lösen lassen:

(x 1 + i

y 1)

−

(x 2 + i

y 2) := (x 1

−

x 2) + i

(y 1

−

y 2)

i^{2} := - 1

Daher habe ich meinen Ansatz nach dem Schema angepasst:

(3 + 2 i) - i \cdot (4 - 2 i)

= (3 + 2 i) - (4 i - 2 i^{2})

= 3 - (2 i - 4 i) - (- 2 i^{2})

= 3 - 2 i + 2 i^{2}

= 1 - 2 i

Was soll ich hier genau mit dem

i^{2}

anstellen? Muss ich hier einfach

- 1

einsetzen? Tut mir leid falls ich mit dem Ansatz total daneben liege.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:31 Uhr, 19.10.2021

Hallo,

ich habe in herkömmlicher Weise vereinfacht.

(3 + 2 i) - i \cdot (4 - 2 i)

= 3 + 2 i - 4 i + 2 i^{2}

= 3 - 2 i + 2 i^{2}

In der Tat is

i^{2} = - 1

Also ergibt sich

3 - 2 i - 2 = 1 - 2 i

Im Prinzip ändert das aber nichts an deinem richtigen Ergebnis. Eine notwendige spezielle Vorgehensweise sehe ich hier nicht.

Gruß
pivot

rundblick aktiv_icon

20:35 Uhr, 19.10.2021

.
(3+2i)-i⋅(4-2i)

= (3 + 2 i) - (4 i - 2 i^{2})

= 3 - (2 i - 4 i) - (- 2 i^{2}) . .

\leftarrow .

. kannst du deinen Vorzeichenfehler selbst finden ?

. .

. .

\to

und klar: setze dann für

i^{2} = - 1

also

\to . .

. ?

.

GenOsi32 aktiv_icon

20:43 Uhr, 19.10.2021

@pivot

Vielen Dank für die prompte Antwort! :-)

Und dann hätte ich noch eine kurze Frage und zwar ist noch der Betrag dieser komplexen Zahl zu berechnen.

Da habe ich dann einfach folgendes gemacht:

i := 1 \cdot i

| 1 - 2 i | =

= \sqrt{1^{2} - 2^{2}}

= \sqrt{- 3}

@rundblick

Vielen Dank für die prompte Antwort! :-)

Ich denke, dass es dann so richtig lauten müsste:

. .

= 3 + (2 i - 4 i) - (- 2 i^{2}) . .

. oder?

= 3 - 2 i - 2

= 1 - 2 i

rundblick aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.10.2021

.
"Ich denke, dass es dann so richtig lauten müsste .."

\to

gut - genau so.. !

und nebenbei: kannst du

\to z = 1 - 2 i

in der Gauss-Ebene darstellen?

. .

. siehst du dann vielleicht irgendwo

| z |

?

und dann ganz nebenbei

: {(- 2)}^{2} =

?

und noch etwas: was du dir merken könntest:

\to

Beträge (auch die von komplexen Zahlen) sind IMMER positive REELLE Zahlen !

also:

| 1 - 2 i | = ...

?
.

pivot aktiv_icon

21:03 Uhr, 19.10.2021

@GenOsi32

Wenn

z = a - b i

, dann ist

∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Somit ist

∣ 1 - 2 i ∣ = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

GenOsi32 aktiv_icon

21:25 Uhr, 19.10.2021

@pivot

Aso okay, dann war es ja gar nicht mal so schwer... Danke Dir! ;-)

rundblick aktiv_icon

21:27 Uhr, 19.10.2021

.

Wenn z=a-bi, dann ist ∣z∣=

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

Somit ist ∣1-2i∣=

\sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

@pivot:
das Ergebnis ist zwar richtig, aber der mittlere Teil deiner Darstellung ist nicht korrekt:

\to

denn es ist

b = - 2 . .

. also

\Rightarrow

∣1-2i∣=

\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{5}

1542800

1542790

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