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Komplexe Zahl mit rationalem Exponenten

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Potenzieren, rationaler exponent

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13:13 Uhr, 09.04.2018

Hallo ich bin die ganze Zeit auf der Suche nach einer möglichkeit eine Komplexe Zahl

z = r \cdot e^{j \cdot φ}

mit einem rationalen Exponenten

c = \frac{p}{q}

zu potenzieren.
Mein Problem ist das ich im Internet zu diesem Thema fast nichts finde, in meinem Lehrbuch finde ich eine Methonde für das Potenzieren mit einer ganzen Zahl.

Im Internet habe ich bisher die Folgende Methode entdeckt:

z^{c} = {(r \cdot e^{j \cdot φ})}^{c} = r^{c} \cdot {(e^{j \cdot φ})}^{c}

mit

c = \frac{p}{q}

In diser Methode wird gesagt das man als erstes mit

p

potenzieren muss, anschließend die Periode der Exponentialfunktion beachten und erst am Ende mit

\frac{1}{q}

potenzieren:

z^{c} = {(r^{p} \cdot e^{j \cdot φ \cdot p})}^{\frac{1}{q}}

Jetzt wird

2 \cdot π \cdot k

zum winkel addiert wegen der periodizität:

z^{c} = {[r^{p} \cdot e^{j \cdot (φ \cdot p + 2 \cdot π \cdot k)}]}^{\frac{1}{q}}

Dann folgt...

z^{c} = r^{c} \cdot e^{(c \cdot φ \cdot p + \frac{2 \cdot π \cdot k}{q})}

Ist diese Methode jemanden bereits bekannt und ist sie überhaupt Richtig?
Und wieso wird gesagt das ich die Periodizität erst nach dem

p

potenzieren einführen muss und nicht vorher schon ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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13:21 Uhr, 09.04.2018

Potentieren mit

p / q

ist nichts Anderes als mit

p

potenzieren und dann

q

-te Wurzel ziehen (oder umgekehrt, man kann nachrechnen, dass die Reihenfolge egal ist).
Wie man mit

p

potenziert, ist Dir bekannt.
Die Wurzeln zieht man wie hier beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Wieso man das so macht? Man hat die Operation

\sqrt[q]{.}

so definiert, dass sie mit der Regel

(\sqrt[q]{z})^{q} = z

kompatibel ist.

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14:03 Uhr, 09.04.2018

Ich habe eben versucht

z

als erstes mit

\frac{1}{q}

und anschließend mit

p

zu potenzieren, allerdings glaube ich das mir irgendwo ein Fehler unterlaufen ist oder ?

z^{\frac{1}{q}} = r^{\frac{1}{q}} \cdot {[e^{j \cdot (φ + 2 \cdot π \cdot k)}]}^{\frac{1}{q}}

z^{\frac{1}{q}} = r^{\frac{1}{q}} \cdot e^{j \cdot (\frac{φ + 2 \cdot π \cdot k}{q})}

Jetzt mit

p

potenzieren:

Z^{\frac{p}{q}} = r^{\frac{p}{q}} \cdot e^{j \cdot (\frac{φ \cdot p + 2 \cdot π \cdot k \cdot p}{q})}

Z^{\frac{p}{q}} = r^{c} \cdot e^{j \cdot (φ \cdot c + 2 \cdot π \cdot k \cdot c)}

mit

c = \frac{p}{q}

Wo habe ich einen Fehler gemacht ? Eigentlich sollte ja

z = r^{c} \cdot e^{j \cdot (c \cdot φ + \frac{2 \cdot π \cdot k}{q})}

heraus kommen..also das selbe wie bei meiner Frage ganz oben.

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14:15 Uhr, 09.04.2018

Du hast keinen Fehler gemacht.
Die Menge

{\exp (i (c φ + \frac{2 π k}{q}), k = 1, 2, . . ., q - 1)}

ist identisch mit der Menge

{\exp (i (c φ + \frac{2 p π k}{q}), k = 1, 2, . . ., q - 1}

, daher sind beide Antworten gleich.
Dass sie identisch sind, ist nicht sofort offensichtlich, aber kann leicht bewiesen werden. An konkreten Beispielen kannst Du es selber berechnen.

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18:48 Uhr, 09.04.2018

Ich habe an einem konkreten Beispiel mit den beiden Gleichungen gerechnet ob die Lösungen identisch sind, allerdings unterscheidet sich einige Lösungen:
Was habe ich falsch gemacht ? es sollten ja genau nur

q

Lösungen sein.

mit

p = 2, q = 3, φ = π, r = 2, k = 0,1,2,3 ... q - 1, c = \frac{p}{q}

1. Rechnung mit

z_{k}^{\frac{p}{q}} = r^{c} \cdot e^{j \cdot (\frac{p}{q} \cdot φ + \frac{2 \cdot π \cdot k}{q})}

- z_{0}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + \frac{2 \cdot π \cdot 0}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot \frac{2}{3} \cdot π}}

- z_{1}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + \frac{2 \cdot π \cdot 1}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot \frac{4}{3} \cdot π}}

- z_{2}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + \frac{2 \cdot π \cdot 2}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot π}}

2.Rechnung mit

z_{k}^{\frac{p}{q}} = r^{c} \cdot e^{j \cdot (\frac{p}{q} \cdot φ + 2 \cdot π \cdot k \cdot \frac{p}{q})}

- z_{0}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + 2 \cdot π \cdot 0 \cdot \frac{2}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot \frac{2}{3} \cdot π}}

- z_{1}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + 2 \cdot π \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot π}}

- z_{2}^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot (\frac{2}{3} \cdot φ + 2 \cdot π \cdot 2 \cdot \frac{2}{3}) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot e^{j \cdot \frac{10}{3} \cdot π}}

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19:24 Uhr, 09.04.2018

Sie sind gleich, denn

e^{i 10 π / 3} = e^{i 4 π / 3}

e^{i x}

ist periodisch, mit Periode

2 π

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