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Komplexe Zahlen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Komplexe Zahlen

1911mad aktiv_icon

19:14 Uhr, 01.10.2009

Hallo Leute,

ich erkläre euch mal meine Situation: Bin heute nach längerem wieder in die Schule gekommen, da ich eine krankheit auskurrieren musste. Meine mitschüle teilten mir mit, dass ich morgen eine Testarbeit über komplexe Zahlen schreiben muss.
Und genau das ist das Problem, wir haben erst damit angefangen, aber ich komme damit nicht klar. Die definition davon ist?
Wie und welcher Weg ist am einfachsten mit solchen zahlen zu rechnen.
Bei der arbeit kommt multiplikation, addition, subtr und division. Wir behandeln anscheinend noch einfache bsps.

Wie gehe ich denn genau vor?

z1= 4+3i
z2= 5-4i

(i definieren: i²=-1)und weiter?

berechne w1= z1+z2
w2=z1-z2
w3=z2-z1

dann noch ne frage, taschenrechner gibts es da ja nichts einzutippen, wie kann man am besten das lösen, formeln und so??? oder anderes?
bin nicht gerade der hellste in mathe und kann neuen stoff auch nicht am besten aufnehmen und damit arbeiten...bitte helft leute!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

OmegaPirat

19:29 Uhr, 01.10.2009

Das kriegen wir zusammen schon in den Griff, keine Sorge.

Komplexe Zahlen sind nicht so komplex wie der Name vermuten lässt.

Wie du bereits sagtest definiert man eine zahl, die mit sich selbst multipliziert

- 1

ergibt.
Es existiert nämlich keine reelle zahl mit dieser Eigenschaft. deshalb definiert man sich eine neue zahl gemäß i²=-1

i

wird dabei als imaginäre Einheit bezeichnet.
Alle zahlen der form

a \cdot i,

wobei a eine reelle Zahl ist, bezeichnet man als imaginäre Zahl.
beispiele

2 i

5 i

- 3 i

2,34 i

Man kann jetzt zu so einer imaginären zahl noch eine reelle zahl

b

addieren und erhälst ai+b.
Zahlen dieser Form nennt man komplexe Zahlen
beispiele:

i + 3

- 2 i + 1

- 5 i - 1

2,4 i + 5,9

die Zahl z=ai+b hat sowohl einen imaginärteil a als auch einen realteil

b

man addiert komplexe zahlen komponentenweise, das heißt

z_{1} = a_{1} i + b_{1}

z_{2} = a_{2} i + b_{2}

\Rightarrow

z_{1} + z_{2} = (a_{1} + a_{2}) i + (b_{1} + b_{2})

Für dein Beispiel heißt dies

z_{1} + z_{2} = 4 + 3 i + 5 - 4 i = - i + 9

die subtraktion geht analog

z_{1} - z_{2} = 4 + 3 i - (5 - 4 i) = 7 i - 1

Die Multiplikation erfolgt ganz normal durch ausmultiplizieren
es sei

z_{1} \cdot z_{2} = (a_{1} i + b_{1}) \cdot (a_{2} i + b_{2}) = a_{1} a_{2} i^{2} + a_{1} b_{2} i + b_{1} a_{2} i + b_{1} b_{2} = (b_{1} b_{2} - a_{1} a_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i

beim letzten schritt wurde dabei ausgenutzt, dass

i^{2} = - 1

Ich weiß jetzt nicht wie weit ihr bereits mit dem thema seid, habt ihr schon sowas wie die gaußsche Zahlenebene, die eulersche Formel oder gar den Begriff des algebraischen Körpers eingeführt? Das gehört auch zu den komplexen Zahlen.

Edit: Achja die division

\frac{z_{1}}{z_{2}}

ist ein wenig komplizierter, was ich bei bedarf erklären kann

1911mad aktiv_icon

19:42 Uhr, 01.10.2009

Danke, für die schnelle Antwort, und auch noch so ausfürhlich erklärt;-)
bist mir echt eine große Hilfe.
Also das heißt eigentlich für mich, dass ich nur ausrechnen brauch, wie bei algebra-rechnungen oder?
PS: muss man da eine Lösung oder dergleichen angeben ider das i dann noch schlussendlich ersetzen oder ist das mit dem i drinn das ergebnis?
Ja, ich vermute mal, dass die Division auch noch kommt, aber ansonsten haben wir nichts anderes noch durchgenommen.

auser quadratische gleichungen in den komplexen Zahlen, aber ich vermute, das wird noch nicht kommen.

OmegaPirat

19:57 Uhr, 01.10.2009

also das mit dem

i

drin ist das endergenis.
Also prinzipiell kannst du mit dem

i

so rechnen als ob es ne variable (ein

x)

wäre. nur dass man

x^{2}

bzw. eigentlich

i^{2}

immer durch

- 1

ersetzt

Bei der division ist das aber etwas anders.
Die Zahl z_1=a-ib bezeichnet man als die konjugiert komplexe zahl zu z_2=a+ib
wenn man bei einer komplexen zahl also das vorzeichen des imaginärteils ändert, bezeichnet man die neue zahl als konjugiert komplex. Bei der division

\frac{z_{1}}{z_{2}}

muss man den bruch mit der konjugiert komplexen zahl erweiter, das heißt

\frac{a_{1} + i \cdot b_{1}}{a_{2} + i \cdot b_{2}} = \frac{(a_{1} + i \cdot b_{1}) (a_{2} - i \cdot b_{2})}{(a_{2} + i \cdot b_{2}) (a_{2} - i \cdot b_{2})}

= \frac{(a_{1} + i \cdot b_{1}) (a_{2} - i \cdot b_{2})}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

jetzt noch den zähler ganz normal ausmultiplizieren und das in einen imaginärteil und einen realteil zerlegen.

1911mad aktiv_icon

20:04 Uhr, 01.10.2009

Danke!

das ist dann im Prinzip das selbe wie Nenner rational machen bei Wurzeln(im nenner)
und dann kommt eine rationale zahl raus, mit der ich dann normal, wie gewohnt weiter rechnen kann...
ich verstehe.

OmegaPirat

20:09 Uhr, 01.10.2009

ja das ist wie den nenner rationalisieren, nur dass man hier den nenner reell macht.
man hat ja einen komplexen nenner und braucht etwas reelles und der rest ist dann wie gewohnt.

1911mad aktiv_icon

20:15 Uhr, 01.10.2009

Danke, dann werd ich noch ein wenig üben und hoffe das wird was morgen;-)
nochmals danke!

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