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Komplexe Zahlen - 3te Einheitswurzel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Einheitswurzeln, Kreisteilung

Benney aktiv_icon

07:02 Uhr, 11.03.2017

Hallo liebe Community,

könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

z^{3} = 32 \cdot {(1 + j)}^{2}

Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung.

Ich komme irgendwie nicht darauf.

Hab die binomische Formel ausmulitpliziert

= (1 + j) \cdot (1 + j) = 1 + 2 j + j^{2} = 2 j

z^{3} = 32 \cdot 2 j

Ich komm irgendwie nicht weiter

Aufgabe:
- Betrag bestimmen
- Einheitswurzeln/Kreisteilung bestimmen.

Die Formel hierfür habe ich

φ k = \frac{α}{n} + k

*2pi/n

Könnt ihr mir bitte helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

07:37 Uhr, 11.03.2017

Betrag von

32 (1 + j)^{2}

∣ 32 (1 + j)^{2} ∣ = 32 ∣ 1 + j ∣^{2} = 32 {\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} = 64

.
Argument von

32 (1 + j)^{2}

φ = \arctan (I m (32 (1 + j)^{2}) / R e (32 (1 + j)^{2})) = \arctan (64 / 0) = \arctan (+ \infty) = π / 2

.
Also,

32 (1 + j)^{2} = 64 e^{i π / 2}

.
Nach der Formel sind die 3-ten Wurzeln dann

\sqrt[3]{64} e^{i π / 6 + 2 k π / 3}

k = 0, 1, 2

Mathesuchti27 aktiv_icon

07:46 Uhr, 11.03.2017

3te Wurzel ziehen bei der ersten Formel, dann weißt du, was

' z'

ist nämlich irgendwas mit

' j'

Z

weißt du, anschließend die erste Formel mach

y

auflösen und bei der

j =

Formel setzt du für

z

das am Anfang rein also

z . b

Z = 20 j + 10

und

j = 3 z - 1

einfach einsetzten!

Benney aktiv_icon

06:34 Uhr, 14.03.2017

Muss im Betrag bzw unter der Wurzel nicht

32

Wurzel

{(1^{2} + j^{2})}^{2} = 64

stehen ?

also statt der 2ten 1 ein

j

???

Ich versteh das mit den Argument noch nicht so richtig.

Ich muss ja die verschiedenen

z

bestimmen. Könntet ihr mir des nochmal erklären?

Vielen Dank

DrBoogie aktiv_icon

07:45 Uhr, 14.03.2017

"Muss im Betrag bzw unter der Wurzel nicht 32 Wurzel (12+j2)2=64 stehen ?"

Nein. Definition:

∣ a + b j ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

. Es wurde einfach nur diese Definition angewandt.

Was verstehst Du nicht mit dem Argument?

Aber es geht auch einfacher in Deinem Fall:

(1 + j)^{2} = 2 j

- diese Zahl liegt auf der

y

-Achse über der

x

-Achse, also hat sie den Winkel

90

Grad, was

π / 2

ist. Rein geometrisch.

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