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Komplexe Zahlen

Schüler

Tags: Zahl

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21:03 Uhr, 25.10.2011

Hallo ich brauche hilfe bei einer Aufgabe.

Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen unter Zuhilfenahme der Darstellung z = re^iphi. Skizzieren Sie
Ihre Lösungen jeweils in der komplexen Zahlenebene.
(a) z^2 = - 9

Kann mir jemand sagen wie ich das berechnen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

dapso aktiv_icon

21:09 Uhr, 25.10.2011

Schreib

- 9

mal in der e-Schreibweise.

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21:16 Uhr, 25.10.2011

meinst du e^-9 ?

Aber in wie weit hilft das?

dapso aktiv_icon

21:18 Uhr, 25.10.2011

Das meine ich nicht. Du weißt doch bestimmt wie man eine komplexe Zahl

x + i y

als

r \cdot e^{i \cdot φ}

schreibt? In dem Fall sei mal

- 9

deine komplexe Zahl.

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21:20 Uhr, 25.10.2011

r*e^-9 *phi oder?

dapso aktiv_icon

21:23 Uhr, 25.10.2011

Wenn du

x + i y

in der Gaußschen Zahlebene zeichnest, steht das

r

für die "Länge" dieser Zahl und

φ

für den Winkel zwischen der

x

-Achse und dem Vektor der durch die Zahl erzeugt wird. Hattest du das bisher nicht gehabt?

pleindespoir aktiv_icon

21:25 Uhr, 25.10.2011

Vorschlag:

(a)

z^{2} = - 9

z^{2} = - 1 \cdot 9

z^{2} = i^{2} \cdot 3^{2}

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21:37 Uhr, 25.10.2011

Ich versteh jetzt nicht genau wie ich das berechnen kann.

dapso aktiv_icon

21:38 Uhr, 25.10.2011

Die Frage ist musst die wie oben geschrieben die Polarform (

r \cdot e^{i \cdot φ}

) verwenden?

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21:45 Uhr, 25.10.2011

Aber wie lautet das denn richtig?

pleindespoir aktiv_icon

21:48 Uhr, 25.10.2011

So wie ich die Aufgabenstellung verstehe, muss zunächst mal die Aufgabe gelöst werden und dann das Ergebnis in Polarform dargestellt werden.

Polarform hat nichts mit Amundsen, Peary oder Packeis zu tun, sondern:

http//de.wikipedia.org/wiki/Polarform#Polarform

dapso aktiv_icon

22:24 Uhr, 25.10.2011

Hat dir das weitergeholfen?

prodomo aktiv_icon

06:24 Uhr, 26.10.2011

Wenn man deine Beiträge liest, hat man das Gefühl, der Unterrichtsstoff ist komplett an dir vorbei gegangen. Woran das liegt, mag dahingestellt bleiben. Aber die Polarkoordinatendarstellung liegt so nahe am Anfang dieses Themas und ist mit Vektoren im

ℝ^{2}

so stark verwandt, dass ein Ansatz

e^{- 9}

kein ernsthafter Vorschlag sein kann.

x

mal

π

mal Paddelboot ist ungefähr vergleichbar...
Ich versuche mal, deine Erinnerungen etwas zu aktivieren. Vielleicht hast du schon mitbekommen, wie komplexe Zahlen multipliziert werden: die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert. Eine Quadratzahl wie

z^{2}

muss demnach als Länge das Quadrat der Länge von

z

und als Winkel den doppelten Winkel von

z

haben.
Die komplexe Zahl

- 9

gibt im Koordinatensystem einen Pfeil der Länge

9

in negativer Richtung der rellen Achse (frühere x-Achse), also von 0 bis

- 9

. Dieser Pfeil hat einen Winkel von 180° gegenüber der positiven x-Richtung. Also ist die Länge von

z^{2}

gleich 9 und der Winkel 180°. Dann müsste der Winkel von

z

90° und die Länge 3 sein, weil 2*90° = 180° und

3 \cdot 3 = 9

ergibt. Das wäre ein Pfeil der Länge 3 senkrecht nach oben in Richtung der imaginären Achse (ehemalige y-Achse). Der endet bei

3 \cdot i

. Also ist eine Lösung

z = 3 \cdot i

. Probe:

3 i \cdot 3 i = 9 i^{2} = - 9,

weil

i^{2} = - 1

gilt.
Aber vielleicht erinnerst du auch, dass quadratische Gleichungen 2 Lösungen haben können. Das galt für reelle Zahlen. Bei komplexen haben sie immer 2 Lösungen (das war sogar der Grund, warum die mal eingeführt wurden). Hier kann man ähnlich wie in der pq-Formel die Lösungen als

\pm 3 i

schreiben oder einen umfassenderen Ansatz machen. Die sin und

cos -

Werte wiederholen sich ja nach einem Umlauf immer wieder. Statt 180° könnte man also auch 360° weiter gehen, das würde man dem Pfeil nicht ansehen. Dann wäre der Winkel für

z

nicht 90°, sondern 270°. Das ist gerade der für

- 3 i

. Mehr als eine zusätzliche Umdrehung ist zwar möglich, bringt aber keine neue Lösung, weil 900°:2 = 450° den gleichen Pfeil gibt wie 90°, also wieder

3 i,

usw.

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11:24 Uhr, 26.10.2011

Kann mir das jemand an einem Beispiel mit dieser Aufgabe erklären .
Dann verstehe ich es .
Ist das ergebnis + - 3 ?

dapso aktiv_icon

11:56 Uhr, 26.10.2011

Eine komplexe Zahl hat die Form

x + i y

, wobei

x

der Realteil ist und

y

der Imaginärteil ist.

- 9

lässt sich durch

- 9 + 0 \cdot i

als eine komplexe Zahle schreiben. Diese Zahl kann man sich mal zeichnen, wobei die

x

-Koordinate der Realteil und die

y

-Koordinate der Imaginärteil der Zahl ist.

Jede komplexe Zahl kann man nun in der sogenannten Polarform darstellen:

z = r \cdot e^{i φ}

r

ist hierbei die Länge des Vektors. Von einer allgemeinen komplexen Zahl

x + i y

kann man den durch

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

berechnen, also einfach die euklidische Länge. Bei deiner Aufgabe also

\sqrt{(- 9)^{2} + 0^{2}} = 9

φ

ist der Winkel den der Vektor mit der

x

-Achse einschließt. Hierbei ist zu beachten, dass man bei dem positiven Teil der

x

-Achse beginnt und dann nach links geht. In deinem Fall wäre das ein Halbkreis. Der volle Kreis hat den Winkel

2 π

, der halbe also nur

π

. Damit gilt nun

- 9 + i \cdot 0 = 9 \cdot e^{i π}

. Geht man nun zu der Ausgangsgleichung zurück ergibt sich:

z^{2} = 9 \cdot e^{i π} .

Jetzt kann man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und bekommt:

z = \pm \sqrt{9 \cdot e^{i π}} = \pm 3 \cdot e^{\frac{i π}{2}}

Unter Verwendung der eulerschen Formel:

e^{i φ} = \cos (φ) + i \sin (φ)

kann man das weiter umschreiben:

z = \pm 3 \cdot e^{\frac{i π}{2}} = \pm 3 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})) = \pm 3 i

Jetty aktiv_icon

17:57 Uhr, 26.10.2011

Ah ok . Kannst du mir nur noch mal erklären wie du auf -9 + i*0= 9*e^i*pi kommst.

dapso aktiv_icon

18:02 Uhr, 26.10.2011

z = r \cdot e^{i φ}

r

lässt sich wie folgt berechnen:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

. In unserem Fall ist

r = \sqrt{(- 9)^{2} + 0^{2}} = 9

. Der Winkel

φ

wie oben beschrieben bestimmen, hier

φ = π

und dann

r

und

φ

in die Formel einsetzen, also

z = r \cdot e^{i φ} = 9 \cdot e^{i π}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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