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Komplexe Zahlen-Aufgabe mit versch. Formen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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09:55 Uhr, 21.01.2015

Hallo,

ich habe ein Problem, bei einer recht schwierigen Aufgabe mit komplexen Zahlen. Ich habe die Aufgabe als Bild eingefügt. Die Aufgabe beinhaltet drei verschiedene Formen in einem. Den linken Teil habe ich erweitert. Damit komme ich denk ich mal klar, aber der mittlere und der rechte Teil, da hab ich keine Ahnung was ich machen soll. Ach ja, am Ende muss alles in der kartesischen Form da stehen. Wie ich die exponential Form in die kartesische Form umrechne ist mir auch nicht so richtig klar. ICh benötige zu dieser Aufgabe doch umfangreiche Erklärungen.

Bild hinzufügen scheint nicht zu klappen.

hier meine aufgabe:

2 \frac{i}{3} - 4 i + 2 \cdot e

hoch i(-30°)+3(cos

\frac{Π}{4} + j \cdot \frac{sin Π}{4}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

09:59 Uhr, 21.01.2015

Bild ?

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10:03 Uhr, 21.01.2015

hab meinen beitrag bearbeitet, bild scheint nicht zu gehen und die aufgabe steht auch schon wieder ganz anders drin, als ich sie eingegeben habe

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10:07 Uhr, 21.01.2015

also ganz links:
im zähler

2 i

im nenner:

3 - 4 i

+

2 mal

e

hoch

i

(-30)°

+

3 mal

(cos

Piiii durch

4 ...

+ ...

i

mal sin Piiii durch

4)

Respon

10:11 Uhr, 21.01.2015

Guck mal !
www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Respon

10:13 Uhr, 21.01.2015

30° entspricht

\frac{π}{6}

Etwa so ?

\frac{2 \cdot i}{3 - 4 \cdot i} + 2 \cdot e^{- i \cdot \frac{π}{6}} + 3 \cdot (cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4}))

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10:18 Uhr, 21.01.2015

ok probieren wirs nochmal:

\frac{2 i}{3 - 4 i} +

2*e^i(-30°)

+ 3 \cdot (\frac{cos (Π)}{4} + i \cdot \frac{sin (Π)}{4})

das Cosinus und Sinus steht nicht im zähler sondern noch vor dem Bruchstrich. und bei der exponentialform soll es heißen: 2 mal

e

hoch i(-30°). sonst sollte es passen

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10:19 Uhr, 21.01.2015

genau so stimmt das - nur wie kommst du auf

\frac{Π}{6}

Respon

10:23 Uhr, 21.01.2015

30° entspricht

\frac{π}{6}

2 \cdot π

entspricht 360° ( Bogenmaß )

π

entspricht 180°

\frac{π}{2}

entspricht 90°

\frac{π}{6}

entspricht 30°

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10:23 Uhr, 21.01.2015

unser prof hat aus

2 \cdot e

hoch i(-30°)

2 \cdot (cos

30°

- i \cdot sin

30°) gemacht. was nun besser oder einfacher ist weiß ich nicht. ich kann mit beiden formen nicht wirklich viel anfangen.

Respon

10:24 Uhr, 21.01.2015

Unüblich, aber machen wir das so.

Respon

10:26 Uhr, 21.01.2015

Zuerst der Bruch ( das hatten wir ja schon beim letzten Beispiel - mit

(3 + 4 \cdot i)

erweitern.)
Weiters die sin und

cos

durch die entsprechenden Werte ersetzen.

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10:31 Uhr, 21.01.2015

also: die linke seite:

\frac{(2 i) \cdot (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) \cdot (3 + 4 i)}

+

(jetzt die exp. Form)

2 \cdot

(cos30°-i*sin30°)

soll ich die trigonometrische form ausmultiplizieren?

Respon

10:32 Uhr, 21.01.2015

Du musst zuerst den Bruch in die Form

a + i \cdot b

bringen ( AUSRECHNEN

!)

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10:37 Uhr, 21.01.2015

ok

jetzt hab ich herausbekommen:
(6i+8i²) / (9-16i²)

\frac{- 8 + 6 i}{25}

Respon

10:40 Uhr, 21.01.2015

- \frac{8}{25} + \frac{6 \cdot i}{25}

Das ist korrekt !
Und jetzt zur zweiten komplexen Zahl

(

in Exponentialschreibweise )

e^{i \cdot (- \frac{π}{6})} =

???

(\frac{π}{6}

entspricht 30° )

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10:44 Uhr, 21.01.2015

2*e^-(PI*i)/6 ? oder wie? ich versteh da noch nicht ganz, was genau da herauskommen soll.

Respon

10:46 Uhr, 21.01.2015

Siehe Eulersche Formel ( Buch, Heft, Skriptum

. .

. )

de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel#Eulersche_Formel

e^{i \cdot φ} = cos (φ) + i \cdot sin (φ)

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10:50 Uhr, 21.01.2015

achso ja das hatte ich glaub ich vorher schon.

2⋅(cos30°-i*sin30°)

oder soll ich die

30

jeweils durch PI/6 ersetzen?

so?

2 \cdot (\frac{cos (Π)}{6} - i \cdot \frac{sin (Π)}{6})

- - \to

Sinus und Cosinus natürlich wieder vor dem Bruchstrich, nicht im zähler

Respon

10:54 Uhr, 21.01.2015

Das Argument der komplexen Zahl ist - 30° ( also ein NEGATIVER Winkel )

2 \cdot e^{i \cdot (- \frac{π}{6})} = 2 \cdot [cos (

-30°

) + i \cdot sin (

-30°

)] = . .

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10:56 Uhr, 21.01.2015

ah ok, dann muss in meinen Aufzeichnungen wohl ein fehler drinnen sein - ich hatte nämlich

+ 30

drinnen stehen.

naja und dann rechne ich das wieder aus oder? oder lasse ich das erstmal so stehen?

Respon

10:59 Uhr, 21.01.2015

Das ist schon korrekt und hat auch seinen Grund.

2 \cdot [cos (

-30°)+

i \cdot sin (

-30°)

]

= ???
Jetzt müssen wir uns um die konkreten Werte von

cos (

-30° ) und

sin (

-30° ) kümmern.

cos (

-30°

) = . .

sin (

-30°

) = . .

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11:06 Uhr, 21.01.2015

gut,

hier ist mein nächstes Problem.
die konkreten werte sind für

cos (- 30) =

(Wurzel aus

3)

durch (2)

sin (- 30) = (- 1)

durch

(2)

das Problem liegt darin, dass ich diese werte mit einem Taschenrechner herausbekomme, der nicht für die Prüfung zugelassen ist. der TR der für die Prüfung zugelassen ist, spuckt mir eine kommazahl aus. dabei heißt es, dass wir mitten in der Rechnung nie runden sollen.

Respon

11:12 Uhr, 21.01.2015

Man erwartet von dir, dass du für folgende Winkel die Winkelfunktionen auswendig weisst. ( LERNEN )
30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°,

... .

. .

. und jeweils auch mit den negativen Winkeln

cos (

-30°

) = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin (

-30°

) = - \frac{1}{2}

\Rightarrow

2 \cdot e^{i \cdot (- \frac{π}{6})} = 2 \cdot [cos (

-30°

) + i \cdot sin (

-30°

)] = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2})) = \sqrt{3} - i

. .

. und jetzt zur dritten komplexen Zahl.

Respon

11:14 Uhr, 21.01.2015

Wichtige Werte
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Wichtige_Funktionswerte

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11:27 Uhr, 21.01.2015

ok, danke.

was die dritte komplexe zahl betrifft würde ich sagen, dass ich hier

Π

durch 4 rechnen muss und jeweil den Cosinus und den Sinus davon ausrechnen muss. wie gerade eben.

3 \cdot (cos (\frac{1}{4} Π) + i \cdot sin (\frac{1}{4} Π)) \to

muss man die Pi-Werte auch auswendig wissen? das ist wirklich nicht leicht...

= 2,999 + i \cdot 0,041 - - - \to

habe ich schon mit 3 multipliziert - sind aber auch gerundete werte, die am ende herauskommen

Respon

11:32 Uhr, 21.01.2015

Du kannst ja

\sqrt{3}

und

\sqrt{2}

auch im Endergebnis beibehalten ( oder erst ganz am Schluss in Dezimalzahlen verwandeln )
Ja, die Winkel muss man in Grad ( ° ) und Bogenmaß als Teile von

π

beherrschen.
Das ist aber - wenn man es sich nicht gemerkt hat - eine kleine Nebenrechnung.
Man geht dabei immer aus von
180°

< - > π

( und dann ein wenig Schlussrechnung ).

Bei deinem Beispiel musst du jetzt nur mehr die realen Teile und die imaginären Teile zusammensammeln.

Auch wichtig ist

cos (- α) = cos (α)

ABER

sin (- α) = - sin (α)

. .

. und einiges mehr.

Respon

11:35 Uhr, 21.01.2015

Ach ja, das hatten wir ja noch nicht:

3 \cdot [cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4})] = 3 \cdot [cos (

45°

) + i \cdot sin (

45°

)] = 3 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = . .

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11:41 Uhr, 21.01.2015

Was ich nicht begreife, ist:

wenn ich in meinen Taschenrechner

Π

durch 4 eingebe, bekomme ich den wert

0,7853 . .

.
wenn ich aber in der TR eingebe:

cos (45) -

dann bekomme ich Wurzel 2 durch 2 heraus - das hat aber einen Wert von

0,707 ...

. das ist auf dem ersten blick nicht das gleiche.

Respon

11:48 Uhr, 21.01.2015

Du bringst hier zwei Dinge durcheinander, die miteinander nichts zu tun haben.

\frac{π}{4}

ist ein WINKEL ( entspricht 45°

),

ausgerechnet eben

0,7853981 . .

cos (

45°

) = 0,70710 . .

. ist die WINKELFUNKTION, aber KEIN WINKEL.
( die Zahlen sind hier nur scheinbar ähnlich )

Respon

11:53 Uhr, 21.01.2015

Unser Ergebnis ( vorerst in geschlossener Form

) :

[- \frac{8}{25} + \sqrt{3} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}] + i \cdot [\frac{6}{25} - 1 + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}] =

= 3.53337 . .

+ i \cdot 1.36132 . .

.
Was du nun mit den Zahlen machst, ist Geschmacksache, bzw. was eben verlangt wird.

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11:53 Uhr, 21.01.2015

ja gut dann rechne ich das jetzt mal aus, das sollte ich wohl hinkriegen.

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12:08 Uhr, 21.01.2015

ich habs. ich bekomme

3,53 + 1,36 i

heraus und das stimmt mit meiner musterlösung überein :-)

ich habe die werte ohne

i

auf die linke seite und die werte mit

i

auf die rechte seite geschoben und dann miteinander verrechnet.

vielen dank für die hilfe! es kann aber gut sein, dass ich mich hier heute nochmal melde^^

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