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Komplexe Zahlen (Betrag,Argument)

Universität / Fachhochschule

17:59 Uhr, 25.11.2021

Hallo, ich weiß überhaupt nicht wie ich auf lösungsweg und ergebnis komme. Ich bitte um Hilfe

Gesucht sind betrag und Argument der komplexen Zahl;

5 \cdot (sin (\frac{5}{3} \cdot (π)) + i \cdot cos (\frac{5}{3} \cdot (π))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

19:17 Uhr, 25.11.2021

Es gilt bekanntlich

e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)

, woraus sofort folgt

i e^{i x} = - \sin (x) + i \cos (x)

.

Daher kann man

5 (\sin (5 π / 3) + i \cos (5 π / 3))

auch in der Form

5 (- \sin (- 5 π / 3) + i \cos (- 5 π / 3)) = 5 i e^{- i 5 π / 3}

schreiben.
Aber

i = e^{i π / 2}

, daher haben insgesamt

5 e^{i π / 2} e^{- i 5 π / 3} = 5 e^{i (π / 2 - 5 π / 3)} = 5 e^{- i 7 π / 6} = 5 e^{i (2 π - 7 π / 6)} = 5 e^{i (5 π / 6)}

.
(Das mit

2 π

macht man, weil Argument zwischen

- π

und

π

liegen muss).

Und hier kann man Betrag

= 5

und Argument

= 5 π / 6

direkt ablesen.

19:54 Uhr, 25.11.2021

z = 5 \cdot [sin (\frac{5 π}{3}) + i \cdot cos (\frac{5 π}{3})]

etwas kürzere Variante :

es ist

\to sin (\frac{5 π}{3}) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} ...

. und

...

\to cos (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2}

\Rightarrow z = 5 \cdot [- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} + i \cdot \frac{1}{2}]

\to z = 5 \cdot [cos (φ) + i \cdot sin (φ)] \to

\Rightarrow z = 5 \cdot [cos (\frac{2 π}{3}) + i \cdot sin (\frac{2 π}{3})]

also

\to | z | = 5 . .

. und..

\to

arg(z)

= \frac{2 π}{3} . .

. (Winkel 120°)

ok?
(was meint DrBoogie dazu ?)..
.

20:07 Uhr, 25.11.2021

Ja, so ist es richtig, ich hatte einen Fehler in der Berechnung.

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