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Komplexe Zahlen Betragsungleichung Lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Komplexe Zahlen, Ungleichung

Kev8463

17:08 Uhr, 04.11.2011

Ich habe folgende Aufgabe zu Lösen:

\frac{1}{| z |} < \frac{1}{| z - 3 i |}

Mein Ansatz wäre

| z |

durch

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

und

z

durch

x + y i

zu ersetzen:

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} < \frac{1}{| x + y i - 3 i |}

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} < \frac{1}{\sqrt{x^{2} + {(y - 3)}^{2}}}

das ganze quadrieren

\frac{1}{x^{2} + y^{2}} < \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 6 y + 9}

x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 < x^{2} + y^{2}

6 y > 9

y > \frac{2}{3}

aber wie komme ich jetzt auf mein z?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

17:24 Uhr, 04.11.2011

"das ganze quadrieren"

war wohl so gemeint:

\frac{1}{x^{2} + y^{2}} < \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 6 y + 9}

oder ?

Kev8463

18:06 Uhr, 04.11.2011

ja, hab zu schnell eingetippt... muss unter den bruchstrich

pleindespoir aktiv_icon

18:10 Uhr, 04.11.2011

Wenn x sich rauskürzt, bedeutet das, dass die Ungleichung unabhängig vom Realteil ist.

z = x + j y

hast du doch selbst so definiert !

Kev8463

18:14 Uhr, 04.11.2011

das heißt, dass ich gar nicht unbedingt

z

ausrechnen muss?
in ungleichung ist erfüllt, solange

y > \frac{2}{3}

ist...

pleindespoir aktiv_icon

18:18 Uhr, 04.11.2011

Im Prinzip ja.

Es stimmt aber nur im Zusammenhang mit der oben erwähnten Substitution - das gehört in die Lösung mit rein!

Kev8463

18:21 Uhr, 04.11.2011

hast du nen vorschlag wie ich das formal sauber aufschreibe?

pleindespoir aktiv_icon

19:18 Uhr, 04.11.2011

Formal sauber würde ich statt x und y besser a und b nehmen.

Und da wir es mit einer Lösungsmenge zu tun haben und nicht nur mit einer Einzellösung sollte auch die Mengenschreibweise Anwendung finden:

L = z ∣ {z = a + j b \land b > ⅔} \in C

Kev8463

15:15 Uhr, 05.11.2011

vielen dank ;-)

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