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Komplexe Zahlen, Inversion am Einheitskreis

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Einheitskreis, inversion am, Komplexe Zahlen

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17:29 Uhr, 27.01.2009

Hallo zusammen!

ich arbeite gerade daran, Kreise und Gerade am Einheitskreis zu spiegeln, also im Endeffekt daran, die Abbildung

z \mapsto \frac{1}{z'}

. Allerdings komme ich nicht so recht voran, da ich nicht weiß, mit welcher Form einer Kreisgleichung ich am besten spiegle. Wenn ich

z . B

. versuche, mit

0 = z z' - m' z - m z' + γ

zu spiegeln, weiß ich nicht, wie ich damit über die oben genannte Abbildungsvorschrift weiterkommen soll. Bei Gerade ergibt sich mir das selbe Problem, aber ich glaube, wenn man erstmal Kreise abbilden kann, sind Geraden das kleinere Problem.

Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe.
Gruß, Markus

edit: Alternativ wäre es nett wenn mir jemand den Weg erklären könnte, über den ich bei meiner Suche gestolpert bin. Dort wird erst über

w = \frac{1}{z}

der Real- und Imaginärteil berechnet. Allerdings wird hier Re(w)

= u (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

und analog dazu der imaginäre Teil mit Im(w)

= v (x, y) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

bezeichnet. Ich verstehe nun nicht, was meint der Autor mit

u

bzw. v? Des weiteren ist dort von einer (x,y)-Koordinatenform eines Kreises die Rede, die folgendermaßen aussieht:

a (x^{2} + y^{2}) + b x + c y + d = 0,

wobei

a, b, c, d

element der reellen Zahlen sind. Diese Kreisgleichung verstehe ich nicht. Und dann wird auf einmal

x = \frac{u}{u^{2} + v^{2}}

gesetzt und

y = - \frac{v}{u^{2} + v^{2}}

. Dabei frag ich mich wiederum: Warum?
Ich hab mal den Link dazu kopiert: www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/applets/Inversion/index.html

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:02 Uhr, 27.01.2009

Hallo,
also u bedeutet einfach den Realteil, v ist der Imaginärteil.
Die Kreisgleichung ist die übliche.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, konstanten Abstand hat.

(x - x_{M})^{2} + (y - y_{m})^{2} = r^{2}

Rechnet man die Klammern aus, so erhält man einen Term der Form, wie im Skript angegeben.
Gruß Astor

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19:18 Uhr, 27.01.2009

Hallo Astor.
Ich glaube, das hab ich so verstanden. Mir ist nur die Kreisgleichung die du formuliert hast nie untergekommen. Vielen Dank!
Allerdings schließt sich nun noch eine Frage an: Wenn ich nun mit Geraden arbeite, dann wäre der Parameter

a = 0

. Es stünde also nach meiner Form noch da: bx

+

+ d = 0

Wie komme ich nun von dieser Form auf eine allgemeine Geradengleichung der Form

b' z + b z' + γ = 0

?

Gruß, Markus

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19:34 Uhr, 27.01.2009

was bedeutet b' und z'?
Gruß Astor

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19:53 Uhr, 27.01.2009

Das sind die jeweils konjugiert Komplexen Elemente zu

z

bzw

b,

wobei

b

in der Darstellung im Koordinatensystem der Normalenvektor auf die Gerade

g

sein soll.

edit: ok, das hat sich soweit erledigt. jetzt frag ich mich allerdings grade, wie ich die tangente an einem Kreis ausrechnen kann, wenn der berührpunkt gegeben ist. der kreis ist

h \cdot (x^{2} + y^{2}) +

2cx

+ 2 d y = 0

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