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Komplexe Zahlen-Logarithmus?
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Komplexe Zahlen, Logarithmus, Natürlicher Logarithmus
 
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Hallo;-) Existiert in den komplexen Zahlen der Logarithmus oder lediglich nur der ln? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechnen mit Logarithmen ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Der existiert auch auf den komplexen Zahlen... Und wie :-) Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus |
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aber es handelt ishc bei der seite aussschließlich nur zum Logarithmus zur Basis . Existiert der Logarithmus auch zu einer Basis mit komplexen zahlen? Und wie berechnet man das?
Außerdem versteh ich die Darstellungen nicht ganz vom Logarithmus im |
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Hallo ! Ich würd mal so sagen: Der Logaritmus ist die Lösung der Gleichung Stellt sich nur die Frage, welchen der jeweils möglichen da man jetzt teilen soll :-) lg |
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Ah ok, jetzt versteh ich auch die Frage ;-) Hatte mich auch schon gewundert... Es gibt ja eine Umrechnungsform vom beliebigen Logarithmus zum natürlichen Logarithmus: Da es einen komplexen natürlichen Logarithmus gibt, lässt sich dies nun auch auf komplexe Zahlen und erweitern. Das klingt für mich zumindest einleuchtend und logisch und ist auch so, soweit ich informiert bin. Persönlich mich damit beschäftigt hab ich mich jedoch nie... Die 3D-Grafik in Wikipedia sagt lediglich etwas über die Eindeutigkeit aus. Jede komplexe Zahl lässt sich darstellen als Jede komplexe Zahl kann so dargestellt werden, jedoch nicht eindeutig. So ist für für jedes . Hat man ein gegeben, so ist auch wegen der Periodizität von . Und ebendso ist . Der komplexe Logarithmus liefert dann also unendlich viele Lösungen (im Gegensatz zum reellen Logarithmus). Daher schränkt man dann das Bild ein (lässt also z.B. nur ) zu, dann hat man ein sogenanntes Blatt vom Logarithmus (hier speziell das "Hauptblatt") und es entsteht eine vernünftige Funktion. Jedoch kann ich die Einschränkung auch auf machen, dies ist dann das -te Blatt vom Log. In der Zeichnungen ist nun der "Graph" des Log eingezeichnet mit unterschiedlichen Blättern (in unterschiedlichen Farben), dies hat man wohl gemacht, weil die Blätter so schön glatt ineinenader übergehen... Dasselbe mach man übrigens auch beim und , denn es gibt ja die Umkehrfunktionen bzw. , die es ja eigentlich nicht geben dürft, das Kosinus und Sinus nicht injektiv sind. Aber man schränkt die Funktionen auf einen Bereich ein, auf dem sie injektiv sind und dann funktionierts. Dasselbe macht man hier quasi auch. |
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Also Welche Logarithmen man verwendet ist also egal, denn auch hat unendlich viele Blätter und man bekommt als Ergebnis halt ein Blatt raus. Verwendet man jedoch dasselbe Blatt von (was meiner Meinung nach auch die einzig sinnvolle Wahl ist, eigentlich verwendet man ja das Hauptblatt), also (für das Hauptblatt ), so erhält man automatisch das Hauptblatt von . |
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Dankeschön!! ;-) |
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