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Komplexe Zahlen, Polynomring,Kongruenz

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

Katja001 aktiv_icon

14:34 Uhr, 16.11.2022

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage bzgl folgender Aufgabe:

a) Zeigen sie, dass die Menge

I = {(X^{2} + 1) \cdot P : P \in ℝ [X]}

ein Ideal ist. Dabei ist

ℝ [X]

der polynomring über den rationalen Zahlen.

Dieser Teil ist mir klar wie man es macht.
b) Zeigen sie, dass die Menge

T := {a X + b : a, b \in ℝ}

ein Repräsentantensystem bzgl der Kongruenz

\sim_{I}

I

unter dem Tilde ist aus der a)

Meine Frage ist nun, was bedeutet dieses

\sim_{I}

?

Wir hatten Kongruenzrelationen folgendermaßen definiert:

Sein

A

eine Menge und

f : A^{n} \to A

eine Operation. Eine auf

A

definierte Äquivalenzrelation

R \subset A^{2}

heißt f-kongruenz, wenn für alle

a_{1}, a_{2}, a_{3} . . . . . a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3} . . . . . ., b_{n} \in A

gilt:

(a_{1} R b_{1} \land a_{2} R b_{2} \land . . . . . \land a_{n} R b_{n}) \Rightarrow f (a_{1}, a_{2} . . . . ., a_{n}) R f (b_{1}, b_{2} . . . b_{n})

Also ich dachte eigentlich, dass ich Konguenzen verstanden habe, aber ich verstehe hier nicht was meine Kongruenz auf einer Menge

I

definiere. In der Definition steht es doch it Operationen und ich ahbe auch verstanden was ich zeigen muss wenn meine Operation zum Beispiel

+

oder

\cdot

wäre, aber hier weiß ich es nicht auf einer Menge.

Könnte mir vielleicht jemanden diesen kleinen Schritt erklären und mir dann auch noch sagen welche Äquivalenzrelation gemeint ist ?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Katja001 aktiv_icon

16:08 Uhr, 16.11.2022

Ich denke ich konnte die Aufgabe selbständig verstehen. Es ist wie bei den Restklassen in den ganzen Zahlen. Zwei Elemente stehen genau dann in Kongruenzrelation, wenn die Polynome geteilt durch

(X^{2} + 1)

den selben Rest haben. Gerne kann mir jemand noch etwas mehr dazu erklären wenn jemand möchte.

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 16.11.2022

Hallo,

du hast inzwischen ja selbst heraus gefunden, wie "

\sim_{I}

" (oder habt ihr es "

\tilde{_{I}}

" geschrieben?) zu verstehen ist.

Bedenke, dass im Falle des Ringes

(ℤ, +, 0, -, \cdot, 1)

die Menge aller durch eine Zahl

n \in ℤ^{*}

teilbaren Zahlen als

n ℤ

geschrieben werden kann.
Auch dies ist ein Ideal, eben eines des (insbesondere Hauptideal-) Ringes

ℤ

.
Die "Kongruenz" "

\equiv

" mod

n

bedeutet auch hier, dass zwei Zahlen

a, b \in ℤ

genau dann kongruent mod

n

sind, wenn ihre Differenz

a - b \in n ℤ

liegt.
Insofern ist die Kongruenz mod

n

nichts anderes als "

\sim_{n ℤ}

".

Man kann für alle diese Ringe

R

und deren Ideale

I \subseteq R

diese Art von Kongruenz "

\sim_{I}

" betrachten.
Hier gilt halt

R = ℝ [x]

, was der Polynomring (in einer Variable) über den REELLEN Zahlen ist (nicht den rationalen).

Zunächst ist

\sim_{I}

nur eine Äquivalenzrelation, d.h. man muss zeigen, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Das sollte im Spezialfall

R = ℝ [x]

und

I = (x^{2} + 1) ℝ [x]

leicht gelingen.

Ferner ist zu beweisen, dass "

\sim_{I}

" mit den Operationen der Algebra

R = ℝ [x]

verträglich ist, d.h., dass für

a, b, c, d \in R

mit

a \sim_{I} b

und

c \sim_{I} d

gilt:
*

(a + c) \sim_{I} (b + d)

(a \cdot c) \sim_{I} (b \cdot d)

- a \sim_{I} - b

(Letztere ergibt sich eigentlich direkt aus ersterer und muss vielleicht nicht direkt bearbeitet werden, wenn ihr das Ergebnis schon hattet.)

Deine Verwirrung resultiert daher, dass allg. Abbildungen gerne allgemein

f (a, b)

geschrieben werden, während spezielle Abbildungen statt

+ (a, b)

eben gerne als

a + b

notiert werden.
Die zweistellige Operation "

+

" ist eine solche, bei der du prüfen musst, ob sie mit "

\sim_{I}

" verträglich ist (bzw. anders herum: ob "

\sim_{I}

" mit "

+

" verträglich ist).

Mit anderen Worten: Es ist egal, welchen Vertreter einer Äquivalenzklasse ich zum Rechnen verwende, es kommen stets Ergebnisse der gleichen Äquivalenzklasse heraus.

Dann kann man eine neue algebraische Struktur definieren, bei der mit den Äquivalenzklassen/Restklassen gerechnet wird.

Dazu musst du herausfinden, was ein elegantes Vertretersystem für die Kongruenz "

\sim_{I}

" ist.

Zeige dazu, dass
* jedes Polynom

p \in ℝ [x]

zu einem Element von

T

kongruent ist
* und keine zwei (verschiedenen) Elemente von

T

zueinander kongruent sind.

Ersteres löst man über eine Division mit Rest durch

x^{2} + 1

und erhält daraus Informationen über den Grad des Restes. Mehr braucht man nicht.
Letzteres geht vermutlich irgendwie ziemlich direkt, dass aus der Annahme, zwei Elemente seien kongruent, folgt, dass sie identisch sind.

Interessanter Fakt: Erst einmal ist die daraus entstehende Faktoralgebra

R /_{I}

ja nur wieder ein (kommutativer) Ring (mit 1).
Bei diesem kann man aber sogar die Multiplikation invertieren, d.h. es ergibt sich ein Körper, der die reellen Zahlen umfasst: der Körper der komplexen Zahlen
Ist nämlich

[a X + b] \neq [0 X + 0]

, so gilt:

[a X + b] \cdot [- \frac{a}{a^{2} + b^{2}} X + \frac{b}{a^{2} + b^{2}}] = [(a X + b) (- \frac{a}{a^{2} + b^{2}} X + \frac{b}{a^{2} + b^{2}})] = [- \frac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}} X^{2}]

, was sich - wie eine Polynomdivision mit Rest durch

x^{2} + 1

als kongruent zu

0 X + 1

erweist.

Damit hat also jedes von Null (

= 0 X + 0

) verschiedene Element ein (multiplikatives) Inverses.
Außerdem hat die Gleichung

x^{2} = - 1

eine Lösung in diesem neuen Körper:

X

Mfg Michael

Katja001 aktiv_icon

20:56 Uhr, 16.11.2022

Hallo Michael,

danke für deine Antwort. Sie ist sehr ausfürlich und gut verständlich für mich geschrieben. Wirklich interessant ist, dass du weitere Teile der AUfgabe durch deine ANtwort im Grunde schon vorweg genommen hast. Letztendlich ist das Ziel der Aufgabe einen Quotientenring

ℝ [X] / I

zu konstruieren, der isomorph zu dem Körper der komplexen Zahlen ist.

Ich denke man soll einen anderen Zugang zu dem Körper der komplexen Zahlen bekommen als den gewöhnlichen.

Liebe Grüße

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