Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Komplexe Zahlen hoch 7

Komplexe Zahlen hoch 7

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Vito47 aktiv_icon

17:14 Uhr, 23.12.2013

Hallo Leuteee..

Ich habe ein anfängliches Problem bei dieser Aufgabe.

Aufgabe: In Polarform die Potenz berechnen und anschließend Ergebnis auch in Kartesischer Form angeben.

(- 1 - j)^{7}

Ich brächte bitte einen kleinen Denkanstoß wie ich diese hoch 7 wegkriege, der Rest ist kein Problem, sprich in Polarform weiterrechnen bzw umwandeln in Kartesische Form usw..

Spontan wäre eine Möglichkeit:

(- 1 - j) * (- 1 - j) * (- 1 - j) * (- 1 - j) * (- 1 - j) * (- 1 - j) * (- 1 - j)

Wobei es ganz bestimmt einfacher auch geht, vor allem ist es Extrem unübersichtlich.
Hinzukommt, dass sich ja auch

j^{2} = - 1

was natürlich auch berücksichtigt werden muss.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

17:19 Uhr, 23.12.2013

Viellicht hilft bei der Auflösung das Pascalsche Dreieck.

http//www.mathematische-basteleien.de/pascaldreieck.htm

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

17:32 Uhr, 23.12.2013

Wolfram bringt das als Lösung:

http//www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1-sqrt%28-1%29%29%5E7

mfG

Atlantik

Vito47 aktiv_icon

17:32 Uhr, 23.12.2013

Ich hätte jetzt

15 - 26 j

raus..Ist das richtig?

was ich bezweifele ..

Vito47 aktiv_icon

17:50 Uhr, 23.12.2013

Ich komme leider immer noch nicht weiter..

Ach ja was ich noch hinzufügen wollte ist, dass wir keine Taschenrechner benutzen dürfen, weil ich sehe, dass wolfram alpha für r eine 11, ..angibt.

Das wäre ja die Wurzel von 124,..

pleindespoir aktiv_icon

17:55 Uhr, 23.12.2013

Der Betrag der komplexen Zahl

(- 1 - j) = ?

Der Winkel in polarform dieser Zahl beträgt ?

Vito47 aktiv_icon

18:10 Uhr, 23.12.2013

Der Betrag von

(- 1 - j)

wäre

r = \sqrt{2}

der Winkel wäre dann

a r c t a n = 1 = 225 °

, da es im dritten quadranten liegt.

Ich habe übrigens beim auflösen von

(- 1 - j)^{7}

-->

(- 1 + j)

rausbekommen, ist das denn richtig ?

pleindespoir aktiv_icon

18:16 Uhr, 23.12.2013

Nein. Das Potenzieren komplexer Zahlen läuft wie folgt:

http//www.komplexezahlen.com/potenzen-komplexer-zahlen.html

Der Betrag

\sqrt{2}

muss mit 7 potenziert werden. Geht ohne TR, wenn man die

\sqrt{2}

nicht ausrechnen will und auch nicht muss.

Der Winkel wird mit dem Exponenten multipliziert.

rundblick aktiv_icon

18:18 Uhr, 23.12.2013

.." ist das denn richtig ?.."

\to

Jein .. es ist nur der Achte Teil der ganzen Wahrheit..

Vito47 aktiv_icon

18:26 Uhr, 23.12.2013

wenn mein

r = \sqrt{2}

ist

und mein Winkel

a r c t a n = 225 °

ist

hab ich dann folgendes

z = {\sqrt{2}}^{7} * e^{j} * 7 * 225 °

bzw

z = 8 \sqrt{2} * e^{j} * 7 * 225 °

so vielleicht ?

rundblick aktiv_icon

18:35 Uhr, 23.12.2013

..
und jetzt musst du noch herausfinden, dass

7 \cdot 225 = 135 + 4 \cdot 360

ist,
dann kannst du im nächsten Schritt deutlich vereinfachen:

\to . .

. ?

und nebenbei:
"und mein Winkel arctan=225° ist "

\to

so lässig falsch solltest du das nicht notieren
..

und nochwas:
bei der

e^{...} -

Form steht im Exponenten der Winkel normalerweise nicht in Grad ..

Vito47 aktiv_icon

20:19 Uhr, 23.12.2013

Ich blick leider einfach grad überhaupt nicht mehr durch..ich bin grad stattdessen noch mehr irritiert..sorry

also ich kenne die Formel z=r^n*e^j*phi+k*360/n

Vito47 aktiv_icon

21:20 Uhr, 23.12.2013

Ich hab das jetzt einfach mal aufgeschrieben so wie ich es verstehe. (Siehe Bild)

Ich denke dieses mal ist es korrekt:-D)

Und die Formel im Beitrag vorher von mir gilt natürlich beim radizieren, aber hier potenziere ich ja ;-)

Bitte mal einen kleinen Blick drauf werden

rundblick aktiv_icon

23:01 Uhr, 23.12.2013

das mit den -45° ist falsch

der Winkel, der zu

z = - 1 - j

gehört, ist 225°
..der Punkt

(- 1; - 1)

liegt im III: Quadranten

!!

den Betrag von

z^{7}

hast du dann richtig mit

8 \cdot \sqrt{2}

das Argument von

z^{7}

ist

7 \cdot

225° = 135°

+

4⋅360°

= φ

dh: der Punkt

z^{7}

liegt im II. Quadranten

und wenn du nun mit dem Winkel im Gradmass weitermachen willst,
dann solltest du die trigonometrische Form der Darstellung verwenden :

z^{7} = {(- 1 - j)}^{7} = 8 \cdot \sqrt{2} \cdot [cos (φ) + j \cdot sin (φ)]

und da

cos (

135°

+

4⋅360°

) = cos (

135°)

= - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

sin (

135°

+

4⋅360°

) = sin (

135°)

= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

folgt

{(- 1 - j)}^{7} = 8 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot [- 1 + j]

also

{(- 1 - j)}^{7} = 8 \cdot (- 1 + j) = - 8 + 8 j

jetzt "geschnallt" ?

sigma10 aktiv_icon

23:05 Uhr, 23.12.2013

Warum kompliziert, wenn es auch einfach geht?

{(- 1 - i)}^{7} = {(- 1 - i)}^{2 \cdot 3 + 1} = {({(- 1 - i)}^{2})}^{3} (- 1 - i)

Nebenrechnung:

{(- 1 - i)}^{2} = (- 1 - i) (- 1 - i) = 1 + i + i + (- i) \cdot (- i) = 2 i

{(2 i)}^{3} = - 8 i

- 8 i \cdot (- 1 - i) = - 8 + 8 i

rundblick aktiv_icon

23:41 Uhr, 23.12.2013

"Warum kompliziert, wenn es auch einfach geht?"

z = - 1 - j

z = - (1 + j)

{| z |}^{2} = 2

\bar{z} = - 1 + j

z^{2} = 2 j \Rightarrow

z^{8} = 16

z^{7} = \frac{z^{8}}{z} = \frac{z^{8} \cdot \bar{z}}{{| z |}^{2}} = \frac{16 \cdot (- 1 + j)}{2} = - 8 + 8 j

Vito47 aktiv_icon

23:54 Uhr, 23.12.2013

Yes Sir - geschnallt, vielen dank dafür ;-)

Ich hatte nur deine

7 * 225 = 135 ° + 4 * 360

nicht ganz nachvollziehen können, was aber jetzt klar wird..4 mal rum + 135° von 0° aus weiter, jetzt mal nicht sehr fein ausgesprochen :-D)

Ist ja Blödsinnig da z.B. 1500° hinzuschreiben...Habe echt sehr kompliziert gedacht, was sehr dämlich gewesen ist.

Dennoch vielen dank für die ausführliche Hilfe ;-)

Lieben Gruß

Vito

1134757

1134693

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?