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Komplexe Zahlen in kartesische Form umrechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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13:39 Uhr, 30.11.2013

Habe alles ausgerechnet, möchte nur wissen, ob es richtig ist oder nicht lg.

z 1 = 4 i - \to

4*(Wurzel-1)

z 2 = 4 + 5 i - \to

4+(5*Wurzel-1)

z 3 = 1 - 2 i - \to

1-2*(Wurzel-1)

z 4 = 4 - 2 i - \to

4-2*Wurzel-1

z 5 = (2 \cdot z 1 - 3 \cdot z 3) \cdot z 2

= 42*(Wurzel-1)+2

z 6 = \frac{z 1 \cdot z 4}{z} 3

[

32*(wurzel-1)-24]/5

z 7 =

z2*zkomplexkonjugiert4*zkomplexkonjugeiert1
= 112-24*(wurzel-1)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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14:23 Uhr, 30.11.2013

\to

bei

z_{6}

und bei

z_{7}

habe ich das gleiche Ergebnis

...

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14:29 Uhr, 30.11.2013

super :-)
wo ist mein fehler bei

z 5

: (

habe

z 5 = ((2 (4 i) - 4 (1 - 2 i)) \cdot (4 + 5 i)

= (8 i - 3 + 6 i) \cdot (4 + 5 i)

=(32i-12+24i+40i²-15i+30i²)

= 42 i + 2

=42*(wurzel-1)+2

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14:34 Uhr, 30.11.2013

" z5=(2⋅z1−3⋅z3)⋅z2 "

... ... ... ... .

. ^

\to

was hast du für

z_{3} . .

. (bzw dann

\to .

- 3 \cdot z_{3})

eingesetzt ??

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15:20 Uhr, 30.11.2013

ja genau das hab ich eingesetzt

. .

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16:25 Uhr, 30.11.2013

"ja genau das hab ich eingesetzt ."

ja, ja

. . \to

ABER du hast

\to 4

mal

z_{3}

gerechnet..

\to

in der Aufgabe steht aber

\to 3 \cdot z_{3} . .

. ODER ?

usw..

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16:29 Uhr, 30.11.2013

Hier meine Rechnung

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16:34 Uhr, 30.11.2013

. .

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16:34 Uhr, 30.11.2013

" Hier meine Rechnung "

. .

W O

?

oben immerhin:
diese Zeile stimmt dann dort wieder: =(8i−3+6i)⋅(4+5i)

. > (- 3 + 14 i) \cdot (4 + 5 i)

\to - 12 - 70 - 15 i + 56 i

= ?

+

\cdot i

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16:41 Uhr, 30.11.2013

Habe ein Bild angehängt zwei mal .. Aber ging wohl nicht

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16:45 Uhr, 30.11.2013

Habe wohl einen Rechenfehler drin
Habe nun -82+41*wurzel-1 raus

rundblick aktiv_icon

16:46 Uhr, 30.11.2013

"Habe ein Bild angehängt zwei mal ."

hm .. etwa ein Bild von dir ? ..
denn die kleine Rechnung kann man doch in EchtZeit einfach eintippen

\to

ohne Bild, .. siehe oben..

oh ..
geht doch .. nur: schreib bitte den Faktor mit dem schönen Namen "

i

" auch so an !

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16:57 Uhr, 30.11.2013

Mit

i

ist das aber komplex
Ich soll's in kartesischer Form angeben :-)

rundblick aktiv_icon

17:12 Uhr, 30.11.2013

die kartesische Form der KOMPLEXEN ZAHL IST

z = a + b \cdot i . .

. mit a und

b \in R

und ganz nebenbei: die Quadratwurzel aus

- 1

ist nicht definiert

..

i

ist die komplexe Zahl für die gilt:

i^{2} = - 1

genauer:

i

ist eine Darstellung für den Punkt

(0; 1)

in der Gauss-Ebene auf der imaginären Achse
genau so, wie

1 = (1; 0)

den Punkt auf der reellen Achse beschreibt

und

\to z = a + b \cdot i = a \cdot (1; 0) + b \cdot (0; 1)

dh: das geordnete Paar reeller Zahlen

(a; b)

beschreibt die "komplexe Zahl"

z

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21:20 Uhr, 30.11.2013

Ja und Wurzel-1 haben wir definiert als

i

Wenn ich das mit

i

schreibe ist das doch keine kartesische Schreibweise oder?

anonymous

21:22 Uhr, 30.11.2013

Doch, denn dann ist

z = 0 + 1 i

also

z = i

Der Realteil ist also 0 (und deshalb nicht ausgeschrieben) und der Vorfaktor von

i

ist 1 (schreibt man auch nicht aus)

anonymous

21:25 Uhr, 30.11.2013

"Ja und Wurzel-1 haben wir definiert als i"

Bitte nein.....das ist nicht sauber.....

Besser: i²

= - 1

alles andere ist bei komplexen Zahlen kritisch, auch wenns manchmal in den Büchern so drin steht, in Ordnung ist es nicht.

rundblick aktiv_icon

21:52 Uhr, 30.11.2013

"Ja und Wurzel-1 haben wir definiert als i"

\to

wer ist "wir" ?
also:
.....................WER hat dir denn sowas verkauft ?

es ist so, wie oben schon beschrieben und wie auch Matze2020 dir schreibt:

..

\to .

. "Bitte nein.....das ist nicht sauber....."

und das darfst du uns nun wirklich glauben

\to

es ist

i

die komplexe Zahl

i = (0; 1)

..("geordnetes Paar reeller Zahlen") ,
wobei

i^{2} = - 1 = (- 1; 0)

und zB

i^{3} = i^{2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i = (0; - 1)

usw..
nochmal:
komplexe Zahlen

\to

geordnete Paare reeller Zahlen

\to

Punkte in der Gauss-Ebene

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

.
warum nicht

i = \sqrt{- 1}

?
Beispiel:
dann wäre zB nach den Regeln des Wurzelrechnens

[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}]

\to i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{(- 1) \cdot (- 1)} = \sqrt{+ 1} = + 1 .

. also

i^{2} = + 1

und damit

i = + 1

..was nun? !

also

\to

Merke

: \sqrt{- 1}

ist NICHT definiert und damit auch nicht gleich

i

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21:58 Uhr, 30.11.2013

Wurde als

i

und

i^{2}

in der Vorlesung definiert
Also schreib ich das auch in kartesischer Form mit

i

schreiben?

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22:13 Uhr, 30.11.2013

"Also schreib ich das auch in kartesischer Form mit

i

schreiben?"

\to . .

. JA

! .

. denn nur so ist es dann korrekt

\to

z = a + b \cdot i

mit
Re(z)

= a \in R

Im(z)

= b \in R

ok?

anonymous

22:14 Uhr, 30.11.2013

Liebe Nicole !

Schau Dir am besten einmal die Gaußsche Zahleneben an.

Eine komplexe Zahl nennt man deshalb ein geordnetes Paar, weil eine Komplexe Zahl stets einen Realteil und einen Imaginärteil hat. Es ist also

z = a +

bi

Wichtig ist, damit das ganze Sinn macht: a und

b

sind REELLE Zahlen. Beispiel:

z = 3 + 2 i

oder

z = 5 + 1 i

usw....

Die Komplexe Zahl

Z = i

ist eine Kurzschreibweise: Ausgeschrieben wäre das

z = 0 + 1 i

Die Null für den Realteil wird aber weggelassen und die führende 1 steht eo ipso vor dem

i -

so wie das immer ist. Die Zahl

e

ist ja auch

1 e

. Aber kein Mensch schreibt

1 e

. Jeder schreibt

e

. Mathematiker sind faul !

Kartesische Form: Die Form

z = a

+bi nennt man deshalb kartesische Form, weil es die Gaußsche Zahlenebene gibt. Das ist nichts anderes als ein herkömmliches, zweidimensionales Koordinatensystem, wie Du es aus der Schule kennst. Nur die Achsenbeschriftungen sind anders. Das was in der Schule die X-Achse war, ist jetzt die reelle Achse. Das was in der Schule die Y-Achse war, ist jetzt die Imaginäre Achse.

Wenn Du also eine Zahl