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Komplexe Zahlen: in trigonometrische Form umwanden

Schüler

Tags: eulersche form, Komplexe Zahlen, Trigonometrische Form

derLogFrager aktiv_icon

19:59 Uhr, 25.05.2017

Hi,

Die Aufgabenstellung ist: Wandle in die trigonometrische Form um.
Diese ist ja

z = | z | \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

φ

ist ja

φ = \frac{y}{x}

wenn z=x+iy ist.
Bei der Aufgabenstellung:

z = - 6

war es relativ easy.
Man musste nur die Regel wissen wenn

x < 0 \Rightarrow φ =

arctan

(\frac{y}{x}) +

180°
und konnte sagen die Lösung ist 6*(cos(180°)+i*sin(180°))

doch wie mache ich das wenn die Aufgabenstellung

z = 8 i

lautet?
ich kann nicht einfach wie im vorherigen Beispiel

\frac{y}{x}

machen, da

x

ja 0 wäre.

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

20:26 Uhr, 25.05.2017

>

φ ist ja φ=yx wenn z=x+iy ist.
Das hast du wohl den arctan vergessen und auch dann gilt das nur für

x > 0

Dass bei

z = - 6

die Phase

φ = 180^{\circ}

ist hast du do hoffentlich nicht mit dem TR ermittelt, oder?

Du solltest die angewöhnen, die die komplexen Zeiger in der Gaußebene bildlich vorzustellen. Der Zeiger, der zu

z = - 6

gehört, zeigt in Richtung der negativen reellen Achse, also genau "nach links". Der Winkel 180° sollte offensichtlich sein.

Für

z = 8 i

benötigst du eben eine weitere Ausnahme von

φ = a r c t a n \frac{y}{x}

Aber auch das solltest du dir durch Vorstellung in der Gaußebene überlegen. Wo ist den die komplexe Zahl

0 + 8 i

? In welche Richtung zeigt der Zeiger.
Doch wohl "nach oben", also

φ = + 90^{\circ}

.

Das ist einfach eine Ausnahmeregel für

x = 0

und

y > 0,

die man sich natürlich auch merken kann (aber wozu, wenn man sich den Zeiger in der Ebene so leicht vorstellen kann).
Eine weitere Ausnahmeregel ist jene für

x = 0

und

y < 0

. Du kannst dir jetzt sicher vorstellen, welcher Wert für

φ

jetzt zu setzen ist.
Die letzte Ausnahme ist

x = y = 0

(also der Nullpunkt, die Null) und da ist aus mathematischer Sicht die Phase

φ

undefiniert.
Manche Programm liefern hier den Wert 0 zurück und das kann in der Praxis durchaus eine bequeme Konvention sein - mathematisch ist es aber nicht haltbar.

derLogFrager aktiv_icon

12:15 Uhr, 27.05.2017

Lieber Roman-22,
danke für deine Hilfe!
Den Tipp das ich mir die Zahlen im Gaußschen Koordinatensystem denken soll hat mir sehr geholfen.
LG Jacob :-)

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