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Komplexe Zahlen, lineare unabhängigkeit

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

anonymous

21:50 Uhr, 25.11.2010

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe.

Wir betrachten den

ℂ -

Vektorraum

V = ℂ^{2}

. Sei

x \in ℝ

und Sx

:= {(1 + i,1 - i), (x, x i)}

Gibt es ein

x \in ℝ,

so dass Sx in

V

linear unabhängig ist? Wenn ja, geben sie alle

x

an, für welche dies erfüllt ist.

(Bei Sx soll das

x

im Index unten stehen, ich weiß leider gerade nicht wie das geht.)

also ich hätte jetzt halt vor jeden Vektor einen Faktor (zb a und

b)

geschrieben und dann mit Gleichungssystem lösen geprüft ob es nur die triviale Lösung gibt(a=b=0).

a (1 + i) +

= 0

und

a (1 - i) + b x i = 0

.
Ich komm leider noch nicht so gut mit komplexen Zahlen zurecht, kann mir da jemand weiter helfen?

x

ist ja gesucht, aber wenn ich mein Gleichungssystem löse, löse ich doch nach a bzw

b

auf, und nicht nach x?!

Ich steh gerade voll aufm Schlauch

: (

danke schonmal im vorraus für jede Hilfe !

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00:14 Uhr, 26.11.2010

Multipliziere doch mal die zweite Gleichung mit

i

und addiere dann beide Gleichungen.

anonymous

20:28 Uhr, 26.11.2010

ok, aber sind a und

b

jetzt auch komplexe zahlen?
und dass LGS löse ich doch nach

x

auf?
in abhängigkeit von

a, b

anonymous

11:07 Uhr, 27.11.2010

Also ich komm leider immer noch nicht weiter, kann mir jemand sagen, welches LGS denn richtig wäre

1) a (1 + i) +

= o

und

a (1 - i) +

i = o

oder

2) (a 1

+ia2)

(1 + i) + (b 1 +

ib2)

x = 0

und (a1+ia2)

(1 - i) +

(b1+ib2)

x i = 0

oder ist beides falsch?

anonymous

15:27 Uhr, 27.11.2010

Also wenn ich das mit dem LGS

1)

mache, was BjBot meint, fliegt doch das

x

raus?! aber das will ich doch gerade haben...
und welches LGS soll ich nehmen?
Kann mir jemand weiterhelfen bitte?

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15:42 Uhr, 27.11.2010

Da der Grundkörper

C

ist sind auch a und

b

komplex, lass a und

b

erstmal so stehen wie sie sind.
Was erhälst du denn wenn du das machst was ich dir empfohlen hatte ?
Klar fällt dann ERSTmal

x

weg, aber den Wert für a kannst du ja weiter verwenden und dann in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen.

anonymous

16:26 Uhr, 27.11.2010

ok,
ich hab also :

a (1 + i) +

= 0

a (1 - i) +

i = 0

mal

i

a (1 + i) +

= 0

ai(1-i) - bx

= 0 (

Gleichung

1 +

gleichung

2)

a (1 + i) +

= 0

a +

+

+ a = 0 \to 2 a +

2ai

= 0 \to a =

ai

Hab ich mich verrechnet?
weil wenn ich das jetzt einsetze in die 1.

ai

(1 + i) +

= 0

bekomme ich

x =

(-ai-a)/b

macht das was, dass da noch ein

i

ist?

anonymous

17:07 Uhr, 27.11.2010

wenn ich diesen wert für

x

in die Ausgangsgleichungen einsetze kommt nicht Null raus. irgendwas stimmt nicht

: (

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21:31 Uhr, 27.11.2010

Wenn du

a (1 - i) + b \cdot x \cdot i = 0

mit

i

multiplizierst entsteht

a (i + 1) - b \cdot x = 0

.
Addiert man nun diese Gleichung mit

a (1 + i) + b \cdot x = 0

erhält man...

anonymous

09:25 Uhr, 28.11.2010

ja, das hab ich gemacht.
das bx fällt weg,

und dann hat man noch

a (1 + i) + a (i + 1)

also

2 a +

2ai
wenn ich zusammen fasse?!

und dann setze ich den Wert für

a

in die erste Gleichung ein... wie ich es oben halt gemacht habe.. ich versteh nicht ganz wo mein fehler liegt?

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14:35 Uhr, 28.11.2010

2 a (1 + i) = 0 \to

Für welchen Wert für a wird das Produkt auf der linken Seite denn null ?

anonymous

14:47 Uhr, 28.11.2010

Für

a = 0,

aber das weiß ich ja eigentlivh schon, weil die doch lin unabhängig sein sollen. aber dann bleibt ja nur bx=0 wenn man einsetzt...

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14:53 Uhr, 28.11.2010

Achso du weisst das immer alles schon und schreibst nur was anderes ?

a = 0

konnte man nicht wissen, das ergab sich halt jetzt durch das LGS.
Und wann wird dann

b \cdot x = 0

bzw welchen Einfluss hat

x

darauf ?

anonymous

15:31 Uhr, 28.11.2010

Nee sorry, so hab ich das nicht gemeint. Ich verstehe nur irgendwie nicht wie man damit dann auf

x

kommt;
denn bx

= 0

wenn entweder

x

oder

b

oder beide Null werden..
nimmt man

b = 0

an (denn dann wären sie ja lin unab) wäre es doch egal was

x

ist, weil dann immer

0 \cdot b = 0,

aber dann weiß ich doch immer noch nicht, was

x

ist?
sorry, wenn ich mich grad blöd anstell...:(

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17:25 Uhr, 28.11.2010

Du stellst dich nicht blöd an, keine Sorge :-)
Sieh mal, wenn in

b \cdot x = 0

das

x

null wird, dann ist es egal was man für

b

einsetzt, dann wird

b \cdot 0

eh immer null.
Das bedeutet es gibt für

x = 0

unendlich viele Möglichkeiten den Nullvektor darzustellen

\to

damit wären die obigen Vektoren für

x = 0

linear abhängig.
Für welche

x

sind sie dann folglich linear unabhängig ?

anonymous

20:33 Uhr, 28.11.2010

Na für alle

x \in ℝ

außer 0?!

und das a und

b

komplexe Zahlen sind ändert ja nichts?

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20:53 Uhr, 28.11.2010

So siehts aus.

anonymous

21:06 Uhr, 28.11.2010

Ok, dann vielen dank

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