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Komplexe Zahl quadriert (Verständnis)

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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19:43 Uhr, 18.11.2016

Hallo,
es geht um folgende Aufgabe:
Es sei

c \in C^{*}

, dann zeigen Sie: Die Gleichung

z^{2} = c

hat genau zwei Lösungen in

ℂ

. Für eine von beiden Lösungen gilt:

R e (z) = \sqrt{∣ c ∣ + R e (c) \frac 2}

und

I m (z) = σ \sqrt{∣ c ∣ - R e (c) \frac 2}

wobei:

σ := {\begin{array}{ll} + 1 falls Im(c) \geq 0 \\ - 1 falls Im(c) < 0 \end{array}

Die zweite Lösung ist das Negative der ersten. Was lässt sich über die Lösbarkeit der Gleichung

z^{2} + a z + b = 0

mit

a, b \in ℂ

Ich habe schon z "zusammen gesetzt" quadriert und ganz am Ende c erhalten. (Mit

σ = 1

) Für

σ = - 1

erhalte ich aber c komplex konjugiert. Ist das das Negative der ersten Lösung, also das Negative von c?
Und warum gilt

σ

für !eine Lösung!, wenn bei mir doch !zwei! verschiedene Ergebnisse mit +1 und -1 rauskommen.
Außerdem gibts es doch auch noch

(- z)^{2} = c

. Ist das für die "zweite Lösung" relevant?
Ich hoffe es ist halbwegs verständlich was mein Problem ist.

Liebe Grüße

P.S.: Re(z)=\sqrt{\vertc\vert+Re(c)\frac2} Was ist hier zu ändern, damit der Bruch richtig dargestellt wird? Bin neu im Umgang mit Latex :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

20:01 Uhr, 18.11.2016

.
Vorschlag:
setze

\to z = x + i \cdot y ... .

[

also Re(z)=x und Im(z)=

y]

analog

\to c = a + b i

z^{2} = c . .

. führt dann zu folgendem Gleichungssystem:

x^{2} - y^{2} = a

2 x y = b

und damit zB zu

\to x^{4} - a x^{2} - \frac{b^{2}}{4} = 0 . .

. wobei nur die reellen Lösungen gefragt sind

\Rightarrow x^{2} = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}}

x =

Re(z)=

\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}}

usw...

vergleiche nun mit deiner Formel..
den Rest wirst du selbst erledigen können
oder?

.

Kilox aktiv_icon

20:12 Uhr, 18.11.2016

Hallo,
danke erstmal für die Antwort, das hatte ich aber schon erledigt! Hat auch alles super funktioniert. Ich störe mich aber an diesem Sigma. Es wird ja gesagt, dass für !eine! von den !beiden! Lösungen das Re(z) und Im(z) aus der Aufgabenstellung gelten. Nun kann das Sigma doch aber 1 und -1 sein, was bei mir zu !zwei! verschiedenen Lösungen führt, wobei es doch eig nur eine sein soll?

rundblick aktiv_icon

20:31 Uhr, 18.11.2016

.
" Ich störe mich aber an diesem

Σ

. "

da ist aber kein Grund zu stören..

denn das liefert nur die Fallunterscheidung , die sich aus dem Vorzeichen von

b

ergibt..

also: du willst die Lösungen des Systems

x^{2} - y^{2} = a

2 x y = b ... ... ... ... ... . .

\to y = \frac{b}{2 x}

für

x

bekommst du die beiden obigen Lösungen

x_{1,2} = \pm \sqrt{.}

.

und wenn nun

b > 0

dann hat

y = \frac{b}{2 x}

das je gleiche Vorzeichen wie

x

also hast du die zwei Lösungen:

z_{1} = x_{1} + y_{1} . .

. und ..

z_{2} = - z_{1}

wenn aber

b < 0

dann haben

x

und das zugehörende

y

verschiedene Vorzeichen

z_{1} = x_{1} - y_{1} . .

. und ..

z_{2} = - z_{1}

das kannst du mit deinem

σ

in eine Formel bringen

\to z_{i} = x_{i} + σ \cdot y_{i}

alles klar?

Kilox aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.11.2016

Es würde mir klar werden, wenn das Negative einer komplexen Zahl, die konjugiert komplexe Zahl ist. Ist das der Fall?
Liebe Grüße

rundblick aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.11.2016

.
"wenn das Negative einer komplexen Zahl, die konjugiert komplexe Zahl ist. Ist das der Fall?"

\to

Nein

z = x + i y . .

\to - z = - x - i y

aber:

... .

\bar{z} = x - i y

also

\bar{z} \neq - z ...

. (für alle

x \neq 0)

das hat aber absolut nichts mit

σ,

also der nötigen Fallunterscheidung

(b > 0

oder

b < 0)

zu tun

denk halt mal genauer .. oder lies die Argumentation oben nochmal in Ruhe ..

.

Kilox aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.11.2016

Ich versuche es nochmal nach einer Pause, sitze da jetzt schon ewig dran und gerade weiß ich nicht einmal mehr, was die Aufgabenstellung genau von mir verlangt. Ich dachte die ganze Zeit man muss beweisen, dass mit (Re(z)+i*Im(z))² c heraus kommt, aber das ist ja eine Vorraussetzung, oder was ist überhaupt "zu zeigen". Also ist die Aufgabe nur "Was lässt sich über die Lösbarkeit der Gleichung ... sagen?
Evtl. melde ich mich nochmal später.
Grüße

HilbertRaum aktiv_icon

10:42 Uhr, 19.11.2016

c ist ein geord. Zahlenpaar in der kompl. Ebene, du kannst einen Ortsvektor darauf zeigen lassen. Jener bildet mit der x-Achse den Winkel

α

.
Wenn du die Quadratwurzel daraus ziehst, dann wird

α

halbiert. Hier kommt später die Anmerkung A1 (s.u.).

D.h. eine Lösung

z_{1}

ist eine kompl. Zahl, mit Betrag

\sqrt{(} ∣ c ∣)

und dem Winkel

\frac{α}{2}

.

Damit folgt:

(1) (Re z_{1})^{2} + Im z_{1})^{2} = ∣ c ∣

(einfach Pythagoras)

Trivialerweise gilt weiter:

Im c = ∣ c ∣ \sin α

und

(\sin \frac{α}{2})^{2} = (\frac{Im z_{1}}{\sqrt{(} ∣ c ∣)})^{2}

= \frac{(Im z_{1})^{2}}{∣ c ∣} = \frac{1 - \cos α}{2}

Also

(2) = (Im z_{1})^{2} = ∣ c ∣ \frac{1 - \cos α}{2}

Der cos ist aber grad (trivialerweise)

(3) \cos α = \frac{Re c}{∣ c ∣}

(3) in (2) folgt:

(4) (Im z_{1})^{2} = ∣ c ∣ \frac{1 - \cos α}{2} = \frac{∣ c ∣}{2} (1 - \frac{Re c}{∣ c ∣}) = \frac{∣ c ∣}{2} - \frac{Re c}{2}

(4) in (1) folgt:

(Re z_{1})^{2} + \frac{∣ c ∣}{2} - \frac{Re c}{2} = ∣ c ∣

Fertig.

A1: Im geht etwa analog. Ich gehe davon aus, dass dir klar ist, warum beim Wurzelziehen in

ℂ

immer genau n (n ist der Exponent, hier 2) Lösungen existieren (Stichwort Riemann-Blatt bzw. Äquivalenzklassen).

Kilox aktiv_icon

11:36 Uhr, 19.11.2016

Vielen Dank für die Antworten. Leider habe ich immer noch keine Idee was von euch genau gezeigt wurde bzw was zu zeigen ist. Ich werde den Thread daher schließen und mit einer neuen Fragestellung neueröffnen. Tut mir leid für eure an mir verschwendete Zeit. Trotzdem vielen Dank.

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