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Komplexe Zahlen (umwandeln in kartesische Form)

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 11. Klassenstufe

Tags: Kartesische Form, Komplexe Zahlen

Der-Doofe aktiv_icon

15:31 Uhr, 10.01.2016

Hallo, erstmal entschuldigt wenn das hier die falsche Rubrik ist!

Nun zu meiner Frage: Ich bin echt nicht so der Profi bei Komplexen Zahlen, ich verstehe es irgendwie einfach nicht bzw. finde nirgendwo gute Erklärungen (gut so das ich sie verstehe).

Mein Problem: folgende komplexe Zahl soll in die kartesische Form

z = a + i \cdot b

gebracht werden:

\frac{1}{{(1 + 2 i)}^{4}}

Nach meinem Verständniss ist die 1 aus dem Nenner ("unten"??) der Realteil und die 2 der Imaginärteil, oder?

Nun ich habe leider keine Idee oder einen Ansatz wie ich jetzt forgehen sollte, ich habe mich gerade überall (Netz

+

Bücher) Todgesucht und habe vieles gefunden, aber nichts was mich weiter brachte.

Die Lösung kenne ich, aber nicht die Rechenschritte... Hier die Lösung:

- \frac{7}{625} + i \cdot (\frac{24}{625})

Hoffe das kann mir hier einer (möglichst genau und nachvollziehbar) erklären, danke!

(PS: bin erst in ein zwei stunden wieder da für Nachfragen, weis nicht wie schnell hier jemand antwortet!)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

16:32 Uhr, 10.01.2016

.
" Todgesucht "

na ja - wenn du doch wieder zu den Lebenden aufwachst,
dann kannst du mal versuchen dies nachzuvollziehen :

1) \to

um zB

\to \frac{1}{1 + 2 i}

auf die Form

a + b i

zu bringen erweitert man
den Bruch mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl (weisst du,
was damit gemeint ist? nein - dann suche dich mal wach)
also erweitere

. . \to

als Ergebnis solltest du dies erhalten

\to \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

2) \to

um nun für

\frac{1}{{(1 + 2 i)}^{4}}

die Form

a + b i

zu finden, schreibst du zuerst um:

\frac{1}{{(1 + 2 i)}^{4}} = {[\frac{1}{1 + 2 i}]}^{4} = {[\frac{1 - 2 i}{5}]}^{4} = \frac{{(1 - 2 i)}^{4}}{5^{4}}

3)

es ist

\to {(1 - 2 i)}^{4} = {[{(1 - 2 i)}^{2}]}^{2}

4)

und wenn du nun zuerst

{(1 - 2 i)}^{2}

ausrechnest (Binomformel

!)

dann erhältst du

- 3 - 4 i

5)

nun bist du fast fertig , denn jetzt kannst du sicher

{[- 3 - 4 i]}^{2}

selbst noch ausrechnen

6)

wie sieht dann dein Ergebnis zu

z = a + b i

aus für

z = \frac{1}{{(1 + 2 i)}^{4}} = = \frac{{(1 - 2 i)}^{4}}{5^{4}} = \frac{{[- 3 - 4 i]}^{2}}{5^{4}} = \frac{... .}{625} =

ok?

Der-Doofe aktiv_icon

17:12 Uhr, 10.01.2016

Erstmal danke für deine Antwort, ich kann sie leider noch nicht ganz verstehen (sorry, bin echt schwer von Begriff was das angeht...)

1)

Ich weis in Ansätzen was damit gemeint ist, habe es aber nicht vollständig begriffen. Zusammengefasst kann ich meines Wissens nach sagen, das man um die konjugiert komplexe Zahl zu erhalten das Vorzeichen umdreht, also zB.

3 - 2 i

3 + 2 i

usw.
Das konnte ich mir zumindest aus allen "Erklärungen" die ich finden konnte ableiten, allerdings hatte ich nicht das Gefühl das das korrekt ist..
Somit weis ich auch nicht wie du auf

\frac{1}{5} - \frac{2}{5} \cdot i

kommst

: (

2)

Hier setzt du also mit dem konjugiert komplexen gleich?

3)

Klar.

4)

Warscheinlich ist mein Hirn total zerknotet (bin den ganzen Tag nur am rechnen), aber ich bekomm das gerade nicht gebacken:

{(1 - 2 i)}^{2} = (1 - 2 i) \cdot (1 - 2 i) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 i - 2 i \cdot 1 + 2 i \cdot 2 i = 1 - 2 i - 2 i + 4 i = 1

???
Sollte ja sein

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} \Rightarrow 1 - 2 \cdot 2 i + 2 i^{2} = 1 - 4 i + 4 i = 1

Kommt also das selbe raus, aber nicht das was du meintest... Was übersehe ich hier?

5)

Selbes Problem wie bei 4.

6)

Werd ich dann sehen :-)

Hoffe das ist alles nicht zu banal für dich^^

rundblick aktiv_icon

17:26 Uhr, 10.01.2016

.
" ist mein Hirn total zerknotet "

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} ... ... ...

. mit

a = 1

und

b = 2 i \Rightarrow

{(1 - 2 i)}^{2} = 1^{2} - (2 \cdot 1 \cdot 2 i) + {(2 i)}^{2}

{(1 - 2 i)}^{2} = 1 - 4 i + 4 \cdot i^{2} ... ... ... .

. und jetzt merke: es ist

\to i^{2} = - 10 >

{(1 - 2 i)}^{2} = 1 - 4 i + 4 \cdot (- 1)

{(1 - 2 i)}^{2} = 1 - 4 i - 4

{(1 - 2 i)}^{2} = - 3 - 4 i

ok?

Der-Doofe aktiv_icon

17:37 Uhr, 10.01.2016

Wenn

i^{2} = - 10

ist (woher weist du das?) (Und ja ich sehe meinen uhrsprünglichen Fehler), dann ist

{(1 - 2 i)}^{2} = 1 - 4 i + 4 \cdot - 10 = 1 - 4 i - 40

oder nicht? (oder war

- 10

eigendlich

- 1

? Denn dann würde der Rest Sinn ergeben)

Könntest du auch noch meine Frage zu

1)

beantworten? Würde mir sehr helfen, danke!

rundblick aktiv_icon

18:16 Uhr, 10.01.2016

.
oh sorry

. .

. das ist ein blödsinniger Tippfehler !

es ist natürlich

\to ... .

i^{2} = - 1

und nicht

- 10

übrigens

:

in der nächsten Zeile oben habe ich ja richtig für

i^{2} = - 1

eingesetzt

siehe

\to

(1−

2 i)^{2} = 1

−

4 i +

4⋅(−1)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

^.

.

mach das bitte bei deiner Rechnung auch noch richtig ..
.

Der-Doofe aktiv_icon

18:17 Uhr, 10.01.2016

Hab jetzt so gut wie alles davon nachvollziehen können, nur

1)

ist noch ein Problem..

Ja hatte gesehen das du das im nächsten Schritt dann mit dem richtigen Wert getan hast.

Kannst du bitte noch was zu

1)

schreiben? da bin ich echt am rätseln.

Ich schätze du hast

\frac{1}{1 + 2 i}

"umgedreht" zu

\frac{1 - 2}{1} \cdot i

aber irgendwoher die 5 gezaubert..

rundblick aktiv_icon

18:34 Uhr, 10.01.2016

.
also:

\frac{1}{1 + 2 i} . .

. die zum Nenner konjugiert komplexe Zahl ist

\to (1 - 2 i)

Erweitern heisst:
Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor malnehmen . hier mit

(1 - 2 i) \Rightarrow

\frac{1}{1 + 2 i} = \frac{(1 - 2 i)}{(1 + 2 i) \cdot (1 - 2 i)} = . .

.

und hier kannst du also nochmal selbst üben: was gibt

\to (1 + 2 i) \cdot (1 - 2 i) =

?

.

Der-Doofe aktiv_icon

18:48 Uhr, 10.01.2016

(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 1 - 2 i + 2 i - 4 i = 1 - 4 i = 5

Ich danke dir vielmals, du hast mir mehr geholfen als das ganze Internet es in mehreren Stunden Suche vermocht hat!

Wobei, war

i^{2} = - 1

und

i = 0

Hmm.. bin etwas verwirrt.

rundblick aktiv_icon

19:11 Uhr, 10.01.2016

(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 1 - 2 i + 2 i - 4 i = 1 - 4 i = 5

da hast du zweimal das quadrat vergessen beim

i

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

^... ... .

^.

.

es ist

\to i \cdot i = i^{2}

und oben sieht das dann so aus

. .

= 1 - 4 \cdot i^{2} = 1 - 4 \cdot (- 1) = 1 + 4 = 5

ok?

also nochmal: die komplexe Einheit

i

ist eben so definiert

\Rightarrow

ES IST

\to i^{2} = - 1

ok?

.

Der-Doofe aktiv_icon

19:17 Uhr, 10.01.2016

Ja, ist klar, bin auch gerade eben darauf gekommen.. man hatte ich

n

Brett(er) vorm Kopf. Jetzt ist alles klar, danke!

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