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Komplexe Zahlen wann negativ i in der e-Form?

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

EinsteinsFreund aktiv_icon

01:13 Uhr, 29.02.2020

Ich vermutete, dass in der eulerschen Form einer Komplexen Zahl ein minus vor dem

i

steht, wenn der

b

teil negativ ist. In meinem Lehrbuch wird jedoch eine Komplexe Zahl in der eulerschen Form mit einem negativen

b

teil ohne ein minus vor dem

i

dargestellt.

Ist die Lösung aus meinem Lehrbuch falsch, oder wann kommt ein minus vor dem

i

bei der eulerschen Darstellung?

Es handelt sich um folgende komplexe Zahl:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

rundblick aktiv_icon

11:29 Uhr, 29.02.2020

- 0,505 - 0,781 \cdot i = 0,93 \cdot e^{i \cdot φ}

- 0,505 - 0,781 \cdot i = 0,93 \cdot e^{i \cdot ({237,11}^{0} + k \cdot 360^{0})} . .

k \in ℤ

\to

+237,11° ist im Prinzip richtig, denn der Punkt

z = - 0,505 - 0,781 \cdot i

liegt im III.Quadranten, also gilt mit

k = 0

für den Winkel

φ \to

180°

< φ <

270°

nebenbei: du könntest den Winkel natürlich auch zB für

k = - 1

notieren

\to

−122.89° usw..
nur: normalerweise gibt Mann den positiven Wert zwischen 0° und 360° an.

und dazu noch ein Tipp: schaue zuerst, in welchem Quadranten

z

liegt, dann weisst du,
innerhalb welcher Grenzen der (positiv zu nehmende) Winkel liegen wird ..

aber: es ist eh unüblich im Exponenten von

e

den Winkel im Gradmass zu notieren;
verwendet wird das Bogenmass

also: es ist

\to - 0,505 - 0,781 \cdot i = 0,93 \cdot e^{4,138 i}

oder

\to - 0,505 - 0,781 \cdot i = 0,93 \cdot e^{i \cdot 1,317 \cdot π} = 0,93 \cdot e^{(4,138 + 2 k \cdot π) \cdot i} .

k \in ℤ

ok?

anonymous

15:11 Uhr, 29.02.2020

Darf ich in meinen Worten ergänzen...

Mach dir die Dinge anhand der komplexen Ebene klar.
In karthesischer Darstellung ist die Festlegung einfach erklärt.
Ich nehme mal an, dass wir wie üblich die reellen ZahlKomponenten nach rechts (positiv) auftragen, und die imaginären Zahlkomponenten nach oben (positiv).

Du sprichst von "a" und "b" (ohne zu erklären). Ich vermute, du meinst die allgemeine Darstellung einer komplexen Zahl

z = a + b \cdot i

Ja, und dann eben:

>

ein positiver Realteil a findet sich in der rechten Hälfte,

>

ein negativer Realteil a findet sich in der linken Hälfte,

>

ein positiver Imaginärteil

b

findet sich in der oberen Hälfte,

>

ein negativer Imaginärteil

b

findet sich in der unteren Hälfte.

Nun zu deiner Frage, zur Polardarstellung mit Betrag und Winkel:

z = | z | \cdot e^{i \cdot φ}

Du solltest dir schon noch besser klar machen, dass jetzt der Winkel nicht mehr so eindeutig ist.
Das Beispiel mit dem Winkel

φ =

237°

= 4.138

rad

kannst du genauso unter dem Winkel

φ =

237°+360°

= (4.138 + 2 \cdot π)

[

rad]
oder

φ =

237°+ 2*360°

= (4.138 + 4 \cdot π)

[

rad]
oder

φ =

237°+ 3*360°

= (4.138 + 6 \cdot π)

[

rad]

oder... oder

. .

. oder

. .

. oder

φ =

237°-360° = -123°

= (4.138 - 2 \cdot π)

[

rad]

= - 2.145

[

rad]
oder

φ =

-123°-360°

= (- 2.145 - 2 \cdot π)

[

rad]
oder

φ =

-123°- 2*360°

= (- 2.145 - 4 \cdot π)

[

rad]

oder... oder

. .

. oder

. .

. oder
verstehen und wiederfinden.

Du machst es dir zu einfach, wenn du einen negativen Imaginärteil unter negativen Winkeln suchst.
Du wirst schon den Einheitskreis und diese Vorstellung verstehen, begreifen und verinnerlichen müssen.

EinsteinsFreund aktiv_icon

17:26 Uhr, 29.02.2020

ok danke

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