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Komplexe linearfaktorzerlegung

Universität / Fachhochschule

Tags: Komplexe Zahlen, Linearfaktorenzerlegung

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16:49 Uhr, 30.05.2019

Wie zerlegt man Polynome in komplexe Linearfaktoren?

Ich gehe mal davon aus, das ich dafür zuerst eine komplexe Nullstelle des Polynoms finden muss, aber wie mache ich das?

Meine Ideen:
Wenn z.B. das Polynom

7 x^{3} + 3 x - 7

ist, würde ich anfangen mit

x (7 x^{2} + 3) - 7 .

Aber wie mache ich dann weiter? Muss ich jetzt, wie bei reelen nullstellen, das Polynom erstmal =0 setzten und dann die Gleichung lösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

17:10 Uhr, 30.05.2019

Hallo,

Dein Anfang bringt nichts. Für eine Partialbruchzerlegung musst Du in der Tat die Nullstellen des Polynoms bestimmen.

Gruß pwm

rundblick aktiv_icon

18:26 Uhr, 30.05.2019

.
"Wenn

z . B

. das Polynom

7 x^{3} + 3 x - 7

ist, "

\to

dein Beispiel ist ungeschickt gewählt, denn die eine reelle Nullstelle,
die jede kubische Parabel ja mindestens hat, ist bei

7 x^{3} + 3 x - 7 = 0

nicht ganzzahlig.

probiere es vielleicht mal mit zB

\to 7 x^{3} + 3 x - 10

da findest du problemlos den reellen Linearfaktor
und kannst dann die beiden komplexen Linearfaktoren nach der vorher
durchgeführten Polynomdivision

(7 x^{3} + 3 x - 10) : (x - 1) = . .

.
versuchen zu finden.

ok?
.

Gerd30.1 aktiv_icon

18:42 Uhr, 30.05.2019

Gleichungen mit dem Grad

> 2

lassen sich praktisch nur nummerisch lösen. Kennt man eine reelle (möglichst ganzzahlige) Lösung

x_{1},

dann kann man durch Polynomdivision zu einer Gleichung niedrigeren Grades gelangen,.....

rundblick aktiv_icon

18:56 Uhr, 30.05.2019

.
" Gleichungen mit dem Grad

> 2

lassen sich praktisch nur nummerisch lösen. "

@Gerd30.1

hey, erste numerische! Version des dreißigsten Gerd - wo kommst du denn her ?

\to . .

. ?

und für dich gleich noch ein besonders schweres "praktisches" Beispiel

\to x^{4} - 1 = 0

:-)

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19:54 Uhr, 30.05.2019

Danke für die vielen Antworten, aber ich weiß nicht so recht, was ich mit denen anfangen soll...

x^{4} - 1 = 0

\to

x = e^{\frac{i 2 k}{4}}

mit

k = 0; 1; 2; 3

Ich versuchs mal anders, wie kommt man darauf das

(x^{2} + 4)^{2} = (x - 2 i)^{2} (x + 2 i)^{2}

rundblick aktiv_icon

20:05 Uhr, 30.05.2019

.
"wie kommt man darauf, dass

\to . .

. "

{(x^{2} + 4)}^{2} = {[x^{2} - a^{2}]}^{2} = ...

. ? (..kennst du die dritte Binomformel?)

mit

a = (- 2 i) . .

. ok?

nebenbei: zu

\to x^{4} - 1 \to ...

\to .

. dein

x = e^{\frac{i 2 k}{4}}

ist sowas von falsch ..
.

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20:22 Uhr, 30.05.2019

Wäre demnach dann

(x + 9) = (x - (3 i)^{2}) = (\sqrt{x} + 3 i) (\sqrt{x} - 3 i)

?
Was mach aber wenn

(x - 9)

steht?

(x - (- i 3)^{2})

?

und wieso ist das

e^{i \frac{2 π k}{4}}

falsch?
(mir fällt grade auf, dass ich vorher das

π

vergessen habe...)

rundblick aktiv_icon

20:31 Uhr, 30.05.2019

.
was soll denn das ?

(x + 9) .

. oder ..

(x - 9) .

. sind doch schon Linearfaktoren .. Mann !

und zum "nebenbei"

\to

oben stand

\to x = e^{\frac{i 2 k}{4}} .

. und das ist falsch .
(du hast es nun ja selbst verbessert..
aber du hast immer noch nicht

(x^{4} - 1) = .

. in Linearfaktorzerlegung notiert..)

.

XeroHD aktiv_icon

20:48 Uhr, 30.05.2019

Also zu (x+9), ich will nur wissen, ob das, was ich da geschrieben habe richtig ist.

Und

(x^{4} + 1)

in linearfaktoren...
wie wärs mit

(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x^{2}

oder vielleicht

i (- i - i x^{4})

Ich hab keine Ahnung, wie ich das machen soll

rundblick aktiv_icon

21:08 Uhr, 30.05.2019

x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} + 1) \Rightarrow

x^{4} - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - i) \cdot (x + i)

"Und

(x^{4} + 1)

in linearfaktoren...
Ich hab keine Ahnung, wie ich das machen soll"

\to

in welche Klasse gehst du ?

(x^{4} + 1) = [x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 + i)] \cdot [x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- 1 + i)] \cdot [x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- 1 - i)] \cdot [x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 - i)]

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21:13 Uhr, 30.05.2019

Ok ich geb auf, weil ich zu unfähig bin

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