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Komplexe zahlen injektiv/surjektiv/bijektiv

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: bijektiv, injektiv, Komplexe Zahlen, surjektiv

simplyme aktiv_icon

15:37 Uhr, 15.12.2016

hallo,
ich bräuchte eure Hilfe bei einem Verständnis Problem.
Also es geht um komplexe Zahlen, die ich auf Injektivität und Surjektivität prüfen soll. Eine Abbildung ist ja Injektiv wenn gilt:

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

. Und Surjektiv, wenn sich für jedes

y

ein Urbild

x

berechnen lässt.
Die Aufgabe:

f_{1} : ℂ \to {x \in ℝ | x \geq - 1} : z \mapsto z \cdot \bar{z}

f_{2} : {z \in ℂ {0} | 0 \leq

arg(z)

\leq \frac{π}{2}} \to ℂ : z \mapsto z (cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4}))

f_{3} : ℂ \to ℂ : z \mapsto

-Im(z)

+

iRe(z)
Wäre super, wenn mir jemand bei diesen Aufgaben helfen könnte und mir zeigt wie ich da rangehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

15:53 Uhr, 15.12.2016

Hallo,

f_{1} :

Mach Dir klar, was

z \cdot \bar{z}

bedeutet und dann weiss Du, dass Du hier nur jeweils ein Gegenbeispiel finden musst, um zu zeigen, dass

f_{1}

weder injektiv noch surjektiv ist! Die Gegenbeispiele findest Du mit dem Wissen um

z \cdot \bar{z}

leicht selber!

f_{2} :

Da stimmt wohl was nicht, oder? Da fehlt der Zuordnungspfeil. Wenn

z

der Wert

(cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4}))

zugeordnet werden soll, ist ja alles klar, denn das ist nur ein Punkt der Gaußschen Zahlenebene und der wird allen zugeordnet.

f_{3} :

Mache Dir klar, wie man die Abbildung auch schreiben könnte,

z . B

. durch eine Multiplikation. Dann kommst Du schnell dahinter, wie man das hier beweisen kann!

simplyme aktiv_icon

15:58 Uhr, 15.12.2016

Danke für die schnelle Antwort. Also zu

f_{1}

. Da hab ich auch vergessen was einzutragen, es sollte heißen

z \mapsto z \cdot \bar{z} - 1

z \cdot \bar{z}

ist doch einfach

z

multipliziert mit seiner komplex konjugierten. Also wenn ich das in Form von

z = a + b \cdot i

schreibe bekomme ich

a^{2} + b^{2}

raus. Am Ende steht dann

a^{2} + b^{2} - 1

,aber was sehe ich nun daraus?

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