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Komplexen Logarithmus differenzieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Komplexe Analysis

Tags: Differentiation, Komplexe Analysis, Logarithmus

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14:17 Uhr, 07.06.2015

Sie

h :

CC\

[

-oo,

0] \to ℂ

definiert durch h(z)=ln|z|+i*arg(z), wobei das Argument arg(x+iy)

\in (- π, π)

so definiert ist, dass

f (\sqrt{x^{2} + y^{2}},

arg(x+iy))^T

= {(x, y)}^{T},

wobei

{f (r, Φ)}^{T} = {(r \cdot cos Φ, r \cdot sin Φ)}^{T}

. Zeigen Sie, dass

h

holomorph ist, und berechnen Sie

h' (z)!

Ich hab mir gedacht, ich schau mir die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen an.

Aus einem vorrigen Beispiel folgt:

x > 0

(was hier der Fall ist, da

h :

CC\

[

-oo,

0] \to ℂ) :

arg(x+iy)=arctan(y/x)

ln(z)=ln|x+iy|

\Rightarrow h (z) =

ln|x+iy|

+

i*arctan(y/x)

Ist das soweit richtig? Jetzt muss ich also nur den Realteil und Imaginärteil finden und nach

x

und

y

differenzieren, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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01:15 Uhr, 08.06.2015

Hilfe?

pwmeyer aktiv_icon

08:55 Uhr, 08.06.2015

Hallo,

"x>0 (was hier der Fall ist, da

h :

CC\

[

-oo, 0]→ℂ):"

Das ist falsch. Es ist ja nur die negative reelle Achse ausgeschlossen. Zum Beispiel gehört

- 1 + i

zum Definitionsbereich.

Du musst die Cauchy-Riemann Diffgl also für verschiedene Bereiche mit den verschiedenen Darstellungen von ARG überprüfen.

Oder Du transformierst die CR-Dgl auf Polarkoordinaten.

Gruß pwm

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09:57 Uhr, 08.06.2015

Hallo,

Wir hatten so was ähnliches schon vorher und da war arg(x+iy)=arctan(y/x) für

x > 0

und arg(x+iy)=arccot(x/y) für

x < 0

. Ist das hier auch der Fall?

Und wie genau kann ich den Real- und Imaginärteil von ln|x+iy|

+

i*arctan(y/x) finden?

pwmeyer aktiv_icon

10:20 Uhr, 08.06.2015

Hallo,

das wäre eine Möglichkeit, arg für verschiedene Bereich darzustellen. Streng genommen, bleibt noch der Fall

x = 0

.

Deine letzte Frage verstehe ich nicht: Wenn

z = x + i \cdot y

mit

x, y \in ℝ,

dann ist doch

x

der Realteil und

y

der Imaginärteil??

Gruß pwm

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13:11 Uhr, 08.06.2015

Ok, super!

Für

x > 0

und

x < 0

stimmen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen überein,

also du/dx = dv/dy

= \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

und

du/dy

= -

dv/dx

= \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

Wie ist das dann bei

x = 0

?

Und dann brauche ich noch

h' (z)

.

Wir wissen schon, dass

h

holomorph ist, also:

h' (z) =

h'(x+iy)

= (\partial

h(x+iy))/(

\partial x) =

(x-iy)/(x^2+y^2)

= \frac{1}{z}

Ist das so richtig?

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20:41 Uhr, 08.06.2015

Ist das richtig?

Moonfire aktiv_icon

17:26 Uhr, 13.06.2015

Ja, es war ok :-)

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