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Komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

Hannes

14:25 Uhr, 22.03.2004

Hallo,

ich bin gerade dabei meine arg angestaubten Kenntnisse in Mathe wieder aufzufrischen. Aktuell kämpfe ich mich durch die komplexen Zahlen. Dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich mir bezüglich des Lösungsweges nicht so ganz sicher bin.

Aufgabe: Gesucht werden alle komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1.

Ich würde hier nun wie folgt vorgehen:

Zunächste die trigonometrische Form ermittlen und dann gem. Lehrsatz vorgehen.

Demnach komme ich auf diesen Anfang:

z = i, was gleich bedeutend ist mit z = 0 + 1i. Demnach würde der Betrag von z wie folgt ermittelt werden:

| z | = \sqrt{0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1}

Als Winkel erhalte ich für arg z = 90° und kann dann gemäß dem Lehrsatz für die n-ten Wurzeln weiter rechnen.

Liege ich mit meiner Annahme hier richtig oder voll daneben? Bitte nur für den Anfang eine Hilfestellung, damit ich erst mal selbst versuchen kann, auf das korrekte Ergebnis zu kommen.

Besten Dank schon mal!

lg
Hannes

Paulus

15:02 Uhr, 22.03.2004

Hallo Hannes,

ich würde -1 in der Form e hoch Pi schreiben. Die Haupt-4. Wurzel ist dann
e hoch pi/4 (liegt also auf dem Einheitskreis mit dem Winkel Pi/4 (45 Grad)).
Die anderen Werte erhältst Du, wqenn du den Winkel 3 Mal je um Pi/4 im Gegenuhrzeigersinn weiterdrehst. So kommst du auf die weiteren Lösungen e hoch 3Pi/4, e hoch 5Pi/4 und e hoch 7 Pi/4. Mit sin(Pi/4) = (Wurzel 2) Halbe
erhältst Du alle vier Lösunge ohne Winkelfunktionen.

\sqrt{2}

Hannes

15:14 Uhr, 22.03.2004

Hi Paul,

danke für Deine Antwort. Leider muss ich diese Aufgabe über die Winkelfunktion (arctan .. usw.) lösen.

Wie gesagt, ich bin mir nicht sicher ob ich mit meinem Anfang richtig liege ...

lg

Hannes

MarcelHu

16:08 Uhr, 22.03.2004

Hallo Hannes,

für z=(0,1)=0+i=i ist|z|=1 natürlich richtig.

Wenn ich dich richtig verstehe, suchst du nun den zugehörigen Winkel zu z:

Ich orientiere mich mal hierdran:

www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/cd-konvergenz/Kapitel/komplexezahlen.pdf

Dann gilt natürlich:

z=i=0+1*i=i=1*(cos(90°)+isin(90°)), von daher bist du auf dem richtigen Weg...

Auf Seite 90 (aus obigem Link) (bzw. im pdf-Dokument unten: Seite 13) steht dann in der Tabelle unter "Radizieren", wie du (sofern du den Winkel im Bogenmaß angibst anstatt in °) damit alle Lösungen erhältst.

Genügt dir das?

[Bemerkung/Hinweis/"Korrektur":

Dank Marian wurde ich gerade darauf aufmerksam, dass die vierte Wurzel aus -1 und nicht aus i gesucht ist. Lies am besten einfach die 2 nächsten Postings. Bei diesem Posting hier habe ich gedacht, du würdest die 4e Wurzel aus i suchen und nicht aus -1. Zu der Zahl -1=-1+0*i=(-1,0) gehört nicht der Winkel 90°, sondern 180°! Diese Bemerkung habe ich deshalb nachträglich hinzugefügt!]

Viele Grüße

Marcel

Marian

16:38 Uhr, 22.03.2004

Hallo!

.... ist doch überhaupt nicht so schlimm.

Es gilt doch folgendes:

z = a + b i = | z | (cosφ + i sinφ)

In unserem Fall gilt aber:

φ = π = 180^{\circ}

Bekannt sind ferner diese Formeln:

\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{| z |} (\cos \frac{2 kπ + φ}{4} + i \sin \frac{2 kπ + φ}{4}) = ζ_{k} k \in {0; 1; 2; 3}

In unserem Fall also einfach:
Für die oben angef¨hrte Menge der Zahlen k ergibt sich:

ζ_{0} = \cos \frac{180^{\circ}}{4} + i \sin \frac{180^{\circ}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} ζ_{1} = \cos \frac{180^{\circ} + 360^{\circ}}{4} + i \sin \frac{180^{\circ} + 360^{\circ}}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} ζ_{2} = \cos \frac{180^{\circ} + 720^{\circ}}{4} + i \sin \frac{180^{\circ} + 720^{\circ}}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} ζ_{3} = \cos \frac{180^{\circ} + 1080^{\circ}}{4} + i \sin \frac{180^{\circ} + 1080^{\circ}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}

In unserem Fall ist natürlich der absolute Betrag von "z" gleich 1.

Diese Problematik hängt mit anderen Begriffen zusammen, die das Rechnen dieser Ausdrücke von ciel vereinfacht. Nennen wir z.B.:

- zyklische Gruppen,
- Generatoren der Zyklischen Gruppen,
- etc.

Also Algebra.

Diese Sachen muss man aber bnatürlich nicht wissen, denn diese stehen immer in den Büchern. So ist es jederfällig, was die Theorie angelangt.

Viele Grüße
Marian

P.S.: Wenn es Fehler gäbe, dann sorry.

MarcelHu

16:52 Uhr, 22.03.2004

Hallo Marian,

ahja, sorry,

irgendwie muss ich in die Verlegenheit gekommen sein, dass die vierte Wurzel aus i gesucht sei.

Weil Hannes irgendwo geschrieben hatte:

z=i

Da habe ich anscheinend den Überblick verloren, es war ja gar nicht die Frage nach der 4en Wurzel aus z=i, sondern gefragt war die 4e Wurzel aus k:=-1, welche als komplexe Zahl die Darstellung hat:

k=-1=-1+0*i=(-1,0)

Dann gilt |k|=1 und der zugehörige Winkel ist natürlich 180°, weil:

k=|k|*[cos(180°)+isin(180°)]=-1

Sorry, meine Antwort bezog sich auf die 4e Wurzel i (da gilt nämlich: Winkel=90° und |i|=1), was gar nicht gefragt war. Obwohl es sogar in der Überschrift steht:

Komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1 (und nicht i)

hab ich mich verwirren lassen

;-)

Die Art, wie du die Winkel und damit die zugehörigen komplexen Zahlen berechnet hast, findet man aber dennoch in dem obigen Link wieder. Naja, leider ist bei dem angegebenen Link anscheinend ein kleiner Fehler bei dem letzten Wurzelzeichen passiert, das dürfte dort nur über r gehen... (vor ... Eulerform).

Viele Grüße

Marcel

Hannes

18:27 Uhr, 22.03.2004

Hallo,

danke für Eure Antworten! Ich denke jetzt ist mir ein Licht aufgegangen. Ich habe die Frage völlig falsch interpretiert, da ich davon ausgegangen bin, dass z = i und das mit -1 die komplexe Zahl wurzel(-1)=i gemeint wäre.

Ich bin nun auf den folgenden Rechenweg gekommen (über die trigonometrische Form):

www.devshare.de/img/uni/formel.gif

(Externe URL, da ich das mit Latex gebaut habe und den Editor hier nicht mehr erneut aufrufen wollte ;o)

BTW gibt es ne Möglichkeit eine externe Grafik im Beitrag einzubinden? Hatte bei mir nicht geklappt ..

OKI, bei meinem Rechenweg habe ich jetzt nur bis zur 1ten Wurzel gerechnet. Für z1, z2 und z3 hatte ich jetzt keinen Nerv mehr .. hab da nur die Grad die jeweils dazukommen notiert.

Jetzt nochmal die Frage: Hab ichs jetzt geschnallt oder liege ich wieder falsch?

lg

Hannes

MarcelHu

19:09 Uhr, 22.03.2004

Hallo,

über die Möglichkeit der "Grafikeinbindung" kann ich nix sagen, soweit ich informiert bin, soll das irgendwann mal möglich sein, zur Zeit aber noch nicht.

Soweit ich das sehen konnte (und mit Marians Lösung verglichen habe ;-)), scheint das alles richtig zu sein.

Wenn du nochmal in Marians Posting guckst, wirst du aber sehen, dass dort die Zahl (Wurzel(2))/2 öfters auftaucht.

Mache dir klar:

cosx=sin((pi/2)-x) (ergibt sich nach Additionstheoremen:

sin((pi/2)-x)=sin((pi/2)+(-x))=sin(pi/2)cos(-x)+cos(pi/2)sin(-x)

=cos(-x)=cosx)

Deshalb gilt (45°=pi/4):

cos45°=sin45° und weiter gilt (z.B nach Pythagoras):

sin²45°+cos²45°=1, woraus folgt:

sin45°=cos45°=(Wurzel(2))/2

Wenn du nun die anderen Winkel ausrechnest, so sind die:

135°, 225°, 315°

Und entweder mithilfe der Additionstheoreme errechnest du (ich zeigs dir mal am Beispiel 135°):

cos(135°)=cos(90°+45°)=cos(90°)cos(45°)-sin(90°)sin(45°)=-cos(45°)=-(Wurzel(2))/2 und

sin(135°)=sin(90°+45°)=sin(90°)cos(45°)+sin(45°)cos(90°)=cos(45°)=(Wurzel(2)/2)

oder man macht es sich am Einheitskreis klar (z. B. mit Kongruenz von gewissen Dreiecken).

Übrigens:

Die Gleichung z²=-1 hat 2 Lösungen:

z=i und z=-i.

Also:

Wurzel(-1)=i oder Wurzel(-1)=-i.

Ich mag deshalb diese Definition:

i=Wurzel(-1) nicht, weil sie missverständlich ist.

Komplexe Wurzeln sind ja (im Allgemeinen) nicht eindeutig (leider...)

So wärst du aber auch zur Lösung gekommen, in dem du dann analog die Wurzeln(i) und Wurzeln(-i) berechnet hättest. Du kannst es ja mal bei Gelegenheit nachrechnen...

Ich kenne nur folgende Definition:

Zunächst vereinbart man gewisse Rechenregeln für den IR², insbesondere definiert man, wie man das Produkt zweier solcher Zahlen (jeweils aus dem IR²) berechnen will.

Wir bezeichnen dann den IR² mit diesen Rechenregeln versehen als den komplexen Körper; damit das auch Sinn macht:

Man rechnnet nach, dass der IR² mit diesen Regeln die Körperaxiome erfüllt. Ausserdem berechnet man (mit der so definiereten Multiplikation):

(I) (0,1)*(0,1)=(-1,0), und man definiert einfach kurzerhand:

i:=(0,1)

Dann ist i wohldefiniert.

Ausserdem folgt unmittelbar:

i²=-1 (wegen (I))...

Das ist also eine Eigenschaft der Zahl i. Und leider gibt es noch eine Zahl, die diese Eigenschaft hat, nämlich -i...

Viele Grüße

Marcel

Hannes

19:45 Uhr, 22.03.2004

Hi Marcel,

das heißt also ich muss meine Aufgabe mit 1 und -1 durchrechnen (also zwei Lösungen).

Ich habe diesen Lösungweg gewählt, weil im Skript auf die Berechnung mit Gradwerten eingegangen wurde. Die Sache mit PI ist dann der Rechenweg über das Bogenmaß.

@Marian (cooler Name! Da gabs ein klasse Lied von den Sisters of Mercy ;o)

Wie kommt man auf das jeweils letzte Ergebnis mit den Wurzeln.

Was bedeutet eigentlich: Die Lösung ist in der Normalform anzugeben?

lg

Hannes

MarcelHu

20:10 Uhr, 22.03.2004

Hallo Hannes,

erstmal gibts ja die allgemeine Formel, deshalb solltest du die schon benutzen, um die 4e Wurzel aus (-1) zu berechnen ;-)

Was ich meinte, war:

Du kannst folgendes tun:

Anstatt 4e Wurzel(-1) auszurechnen, kannst du zunächst die (zwei) Wurzeln von -1 ausrechnen:

Dann erhältst du als Lösungsmenge:

L={i,-i}

(ich verstehe nicht, wie du auf 1 und -1 gekommen bist (?). Wenn, dann mit i und -i, die man auch schreiben kann:

i=(0,1) und -i=(0,-1)).

Jetzt rechnest du (mit der Formel) die 2 Wurzeln aus i aus und die 2 Wurzeln aus -i

(Hier gilt:

|i|=1 und |-i|=1, sowie (Winkel von i)=90° und (Winkel von (-i))=270°))

Diese (insgesamt 4 komplexe Zahlen) sind dann die gleichen wie oben von Marian angegeben...

Ist es nun klar, was ich meine? Die 4en Wurzeln aus (-1) kannst du brechnen, indem du ausrechnest:

Wurzel(i) und Wurzel(-i). Für Wurzel(i) gibt es 2 Lösungen und für Wurzel(-i) gibt es auch 2 Lösungen...

Ich hatte dir doch eigentlich auch erklärt, warum bei Marian die Wurzeln auftauchen:

cos45°=sin45°=Wurzel(2)/2

(ähm, da hatte ich nen Fehler: hatte anstatt (Wurzel(2))/2 nur Wurzel(2) geschrieben, Sorry. Ist aber mittlerweile korrigiert).

Es gelten ferner die Additionstheoreme:

(I) sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx

(II) cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

Dann folgt nach (I):

sin(135°)=sin(90°+45°)=sin(90°)cos(45°)+sin(45°)cos(90°)=cos(45°)=Wurzel(2)/2

sin(225°)=sin(180°+45°)=sin(180°)cos(45°)+sin(45°)cos(180°)=-sin(45°)=-Wurzel(2)/2

sin(315°)=sin(270°+45°)=sin(270°)cos(45°)+sin(45°)cos(270°)=-co s(45°)=-Wurzel(2)/2

und nach (II):

cos(135°)=cos(90°+45°)=cos(90°)cos(45°)-sin(90°)sin(45°)=-sin(45°)=-Wurzel(2)/2

cos(225°)=cos(180°+45°)=cos(180°)cos(45°)-sin(180°)sin(45°)=-cos(45°)=-Wurzel(2)/2

cos(315°)=cos(270°+45°)=cos(270°)cos(45°)-sin(270°)sin(45°)= -(-sin(45°))=Wurzel(2)/2

(was du natürlich auch wissen solltest:

sin(0°)=0, sin(90°)=1, sin(180°)=0, sin(270°)=-1;

cos(0°)=1, cos(90°)=0, cos(180°)=-1, cos(270°)=0)

Viele Grüße

Marcel

Hannes

09:22 Uhr, 23.03.2004

Moinsen,

oki .. jetzt hab ichs begriffen denke ich ;o)

Nochmal Danke an alle!

lg

Hannes

anonymous

20:17 Uhr, 20.07.2004

Hy,

da hat wohl jemand seine B-Aufgaben in GS-Mathe von der FFH DA in Arbeit. Denn dort steht die gleiche Frage als Aufgabe an. Falls dem so ist, ein kleiner Tipp; im Script über die komplexen Zahlen gibt es eine ähnliche Aufgabe als Übung nur mit der Zahl 16 oder -16 (bin mir da nicht mehr sicher) und im zugehörigen Lösungsteil ist alles ganz genau erklärt. Falls nicht - na ja -die andern Antworten liegen nicht daneben - Marian hat es super erklärt.

Ansonsten

mfg Ulli

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