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Komplexer Doppelbruch

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

MathMP

10:12 Uhr, 19.11.2019

Hallo, ich komm bei dem Doppelbruch nicht weiter:

- \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{j \cdot w}}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}} = - \frac{1 - j \cdot w}{1 - \frac{1}{j \cdot w}} =

mit komplex konjugiert multipliziert

= - \frac{1 - j \cdot w}{1 - \frac{1}{j \cdot w}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{j \cdot w}}{1 + \frac{1}{j \cdot w}} = - \frac{1 - j \cdot w + (\frac{1}{j \cdot w}) - (j \cdot w) \cdot (\frac{1}{j \cdot w})}{1 - {(\frac{1}{j} \cdot w)}^{2}} = - \frac{1 - j \cdot w + \frac{1}{j \cdot w} - 1}{1 - (\frac{1}{(- 1) \cdot w^{2}})} =

? aber wie es nun weitergeht weiß ich nicht..
Bei Antwort bitte kurze Erklärung hinzufügen wenn´s geht, damit ich verstehe was gemacht worden ist.
Danke Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

10:28 Uhr, 19.11.2019

Hallo,

ich würde anders rechnen (mal ganz ausführlich dargestellt):

- \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{j \cdot w}}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}}

= - \frac{\frac{1}{\frac{j \cdot w}{j \cdot w} - \frac{1}{j \cdot w}}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}}

= - \frac{\frac{1}{\frac{j \cdot w - 1}{j \cdot w}}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}}

= - \frac{\frac{j \cdot w}{j \cdot w - 1}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}}

= \frac{\frac{j \cdot w}{1 - j \cdot w}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}}

= \frac{j \cdot w}{1}

= j \cdot w

MathMP

16:44 Uhr, 19.11.2019

Danke, ist natürlich die bessere Möglichkeit.

Ich möchte dennoch den umständlichen Weg auch noch verstehen. Ich hab bei den Lösungen nachgeschaut und verstehe alles, bis auf folgende Schritte:

(\frac{(- j \cdot w) + \frac{1}{j \cdot w}}{1 + \frac{1}{w^{2}}}) = (\frac{\frac{w^{2} + 1}{j \cdot w}}{\frac{w^{2} + 1}{w^{2}}}) = (\frac{w^{2} \cdot (w^{2} + 1)}{j \cdot w \cdot (w^{2} + 1)})

Wie kommt man vom erstem Ausdruck auf den zweiten und dann auf den dritten? Ich finde einfach keine plausible Erklärung.

MathMP

17:04 Uhr, 19.11.2019

Ist der "Trick" einfach nur auf selben Nenner bringen?

Also

(\frac{(- j \cdot w) + \frac{1}{j \cdot w}}{1 + \frac{1}{w^{2}}})

betrachte übersichtshalber nur Zähler: HN=(j*w)

\to \frac{(- j \cdot w) \cdot (j \cdot w)}{j \cdot w} + \frac{1}{j \cdot w} = \frac{- j^{2} \cdot w^{2} + 1}{j \cdot w} = \frac{- (- 1) \cdot w^{2} + 1}{j \cdot w} = \frac{w^{2} + 1}{j \cdot w}

betrachte nur Nenner: HN=w^2

\to \frac{1 \cdot w^{2}}{w^{2}} + \frac{1}{w^{2}} = \frac{w^{2} + 1}{w^{2}}

Somit ergibt sich:

(\frac{\frac{w^{2} + 1}{j \cdot w}}{\frac{w^{2} + 1}{w^{2}}}) =

(außen mal auaußen)/(innen mal innen)

\to \frac{(w^{2} + 1) \cdot w^{2}}{j \cdot w \cdot (w^{2} + 1)}

Wäre das so richtig bzw. gilt das Hauptnenner setzen auch bei komplexen Zahlen ??

rundblick aktiv_icon

17:24 Uhr, 19.11.2019

.

"Wäre das so richtig?"

... ... ... ...

N E I N!

...

. richtig ist

\to

- \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{j \cdot w}}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}} = - \frac{\frac{j \cdot w}{j \cdot w - 1}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}} = + \frac{\frac{j \cdot w}{1 - j \cdot w}}{\frac{1}{1 - j \cdot w}} = (\frac{j \cdot w}{1 - j \cdot w}) \cdot (\frac{1 - j \cdot w}{1}) = j \cdot w

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. FERTIG !
.

MathMP

18:01 Uhr, 19.11.2019

Ja das ist die bessere Möglichkeit! Aber das muss doch auch stimmen :

- \frac{1 - (j \cdot w)}{1 - \frac{1}{j \cdot w}} = - (\frac{1 - j \cdot w}{1 - \frac{1}{j \cdot w}}) \cdot (\frac{1 + \frac{1}{j \cdot w}}{1 + \frac{1}{j \cdot w}}) = - (\frac{1 - j \cdot w + \frac{1}{j \cdot w} - (j \cdot w \cdot \frac{1}{j \cdot w})}{1^{2} - {(\frac{1}{j \cdot w})}^{2}}) = - \frac{(- j \cdot w) + \frac{1}{j \cdot w}}{(1 + \frac{1}{w^{2}})}

jetzt Hauptnenner bilden für Zähler und Nenner jeweils ergibt das dann

- \frac{\frac{w^{2} + 1}{j \cdot w}}{\frac{w^{2} + 1}{w^{2}}} = - \frac{(w^{2} + 1) \cdot w^{2}}{(j \cdot w) \cdot (w^{2} + 1)} =

- \frac{w^{2}}{j \cdot w} = - \frac{1}{j} \cdot \frac{w}{1} = - (- j) \cdot w = j \cdot w

weil ja

\frac{1}{j} = - j

ist.

rundblick aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.11.2019

.
"Aber das muss doch auch stimmen :"

. .

. JA ..
(also: das war vorher nur noch nicht fertig ausgeführt)
aber warum halt

\to

sooo kompliziert und umständlich ? .. :-)
.

MathMP

18:13 Uhr, 19.11.2019

Ich versuche eher immer einen Algorithmus beim Rechnen zu finden, also etwas was immer funktioniert und nicht nur bei einem Beispiel anwendbar ist.(ich weiß Mathematikern stellen sich jetzt die Haare auf) :-D)

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