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Komplexer Kettenbruch

Universität / Fachhochschule

Tags: Kettenbruch, Komplexe Zahlen

Sukomaki aktiv_icon

15:56 Uhr, 27.08.2017

Hallo,

es geht mir um die Kettenbruch-Entwicklung im Komplexen.
Da stehe ich gerade ein bisschen auf dem Schlauch.

Es gibt ja das einfache Verfahren :

z_{n} = \frac{1}{z_{n - 1} - ⌊ z_{n - 1} ⌋}

und

a_{n} = ⌊ z_{n} ⌋

um die Teilnenner im Reellen zu bestimmen.

Ich möchte jetzt die Kettenbruch-Entwicklung für komplexe Zahlen durchführen.

Ich habe eine Weile gegoogelt und habe nur den Hurwitz gefunden.
Den Hurwitz kann ich leider nicht nachvollziehen. Und zwar weil er
Real- und Imaginärteil zur nächsten ganzen gaußschen Zahl je nachdem
abrundet oder aufrundet, anstatt in jedem Fall abzurunden?

Er gibt auch ein Beispiel :

- \frac{5}{14} - \frac{1}{2} \cdot i = \frac{1}{- 1 + i + \frac{1}{1 - 3 i + \frac{1}{- 2}}}

Wie kommt er auf die Teilnenner?

Beste Grüße
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

18:28 Uhr, 27.08.2017

Hallo
hier: www.mathematik.uni-wuerzburg.de~steuding/hock.pdf findest du eine andere Methode nach Tanga
aber es gibt wohl wenig Leute, die sich mit komplexen Kettenbrüchen beschäftigen. Wozu brauchst du das?
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

18:47 Uhr, 27.08.2017

Hallo,
leider kann ich dir aus Unkenntnis bzgl. komplexer Kettenbrüche
nicht weiterhelfen, habe aber folgende Arbeit gefunden:

http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~steuding/kirchner.pdf

Gruß ermanus

Sukomaki aktiv_icon

21:22 Uhr, 27.08.2017

Um ehrlich zu sein möchte ich die Kettenbrüche der nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion bestimmen. In der Hoffnung, ein Muster darin zu finden. Gerade weil sich so wenige damit auseinandersetzen, hoffe ich Neuland zu betreten.

Die pdf-Dateien von der Uni Würzburg habe ich gelesen, werde aber nicht so schlau daraus. Ich werde sie eventuell noch einmal gründlicher durcharbeiten.

ledum aktiv_icon

00:58 Uhr, 28.08.2017

Hallo
dann musst du wohl das Neuland selbst erforschen.
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

08:26 Uhr, 28.08.2017

"...möchte ich die Kettenbrüche der nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion bestimmen"

Dazu wäre ja auch die Kenntnis über die nichttriv. Nullstellen hilfreich. Tipp: Riemann-Siegel.

Sukomaki aktiv_icon

10:35 Uhr, 28.08.2017

"dann musst du wohl das Neuland selbst erforschen."

Das bin ich schon gewohnt :-)

"Tipp: Riemann-Siegel"

Vielen Dank für den Tipp mit Riemann-Siegel.

Ich möchte gerne noch einmal fragen :
Kennt jemand einen einfachen, kurzen Algorithmus
für die komplexe Kettenbruch-Entwicklung?

Ist ja nicht ausschließlich für die nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-
Funktion, sondern auch aus reiner Neugier an der Materie.

Gruß
Maki

Sukomaki aktiv_icon

12:35 Uhr, 29.08.2017

Ich habe jetzt ein Verfahren zur Bestimmung der komplexen
Kettenbruchentwicklung entdeckt. Eigentlich sehr einfach :

φ := z \to ⌊ (ℜ (z) + \frac{1}{2}) ⌋ + ⌊ (ℑ (z) + \frac{1}{2}) ⌋ \cdot i

a_{n} = φ (z_{n})

und

z_{n + 1} = \frac{1}{z_{n} - φ (z_{n})}

.

Leider mangelt es dabei an Regelmäßigkeit. D.h. für die
Entwicklung von z.B.

e

kommt statt

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, \dots]

[3; - 4, 2, 5, - 2, - 7, 2, 9, - 2, - 11, \dots]

heraus. Der Wert ist in beiden Fällen
gleich, nämlich

e

.

Und das wurmt mich :-)
Weiß jemand wie ich die Methode modifizieren muss, damit
sowohl die regelmäßige Entwicklung für

e

wie auch eine
richtige Entwicklung für komplexe Zahlen heraus kommt?

Gruß
Maki

Sukomaki aktiv_icon

18:10 Uhr, 29.08.2017

Also,
das mit der Unregelmäßigkeit ist doch nicht so heftig.
Es gibt Zahlen, für die die Entwicklung mit dem im Reellen
verwendeten Verfahren identisch ist. So sind z.B.:

\sqrt{2} = [1; \bar{2}]

\sqrt{10} = [3; \bar{6}]

Es gibt aber auch Entwicklungen, die vom traditionellen Verfahren
abweichen. So ist z.B.:

\frac{\sqrt{5} + 1}{2} = [2; \bar{- 3, 3}]

im Gegensatz zu

\frac{\sqrt{5} + 1}{2} = [1; \bar{1}]

Und was die Regelmäßigkeit von

e

betrifft, so beträgt die
Entwicklung von

e

z.B.:

e = [3; - 4, 2, 5, - 2, - 7, 2, 9, - 2, - 11, 2, 13, - 2, - 15, 2, 17, - 2, - 19, \dots]

oder kurz :

[3; - 4, \bar{2 \cdot (- 1)^{k + 1}, (- 1)^{k + 1} \cdot (2 k + 3)}]

Was interessant ist, ist die Tatsache, dass

\sqrt[3]{2}

unregelmäßig ist,
wohingegen ausgerechnet

\sqrt[3]{e} = [1; 3, - 2, - 9, 2, 15, - 2, - 21, 2, 27, - 2, - 33, 2, 39, - 2, - 45, \dots]

= [1; 3, \bar{2 \cdot (- 1)^{k}, (- 1)^{k} \cdot (6 k + 3)}]

Bemerkung : Ich habe das Gefühl, dass der hierbei verwendete Algorithmus
schneller konvergiert als der Klassische. Genau genommen ist es wohl auch so :-)

Und jetzt noch ein Beispiel für eine komplexe Entwicklung :

\cos (\frac{π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π}{3}) = [1 + i; \bar{- 2, - 2 \cdot i, 2, 2 \cdot i}]

Grüße
Maki

Sukomaki aktiv_icon

14:37 Uhr, 30.08.2017

Danke für die Links.

Naja, ich bin ja dann doch noch auf die richtige Formel gekommen.

Bis bald...

Gruß
Maki

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