Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Komplexes Fundamentalsystem einer DGL

Komplexes Fundamentalsystem einer DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: charakteristische polynom, Fundamentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
lufti23

lufti23 aktiv_icon

12:52 Uhr, 14.07.2022

Antworten
Hallo,

ich habe das charakteristische Polynome einer homogenen DGL berechnet zu (x-2i)2(x+2i)2.
Das Fundamentalsystem ist ={e2ix;e-2ix;xe2ix;xe-2ix}.
Meine 1 Frage ist woher stammen die x bei den letzten beiden Einträgen der Basis?
Die 2 Frage ist wieso das reelle FS zu e2ixcos(2x) ist?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

17:08 Uhr, 14.07.2022

Antworten
Hallo,

wenn Lösungen der char. Gleichung λ,μ sind, so gilt wegen limμλeμx-eλxμ-λ=de L'Hopitallimμλxeμx1=xeλx.

Auf diese Weise zeigt sich, dass bei doppelter Nullstelle λ eben nicht nur eλx, sondern auch xeλx Lösungen sind.
Das sollte Frage 1 beantworten.

Zur zweiten Frage: e2ix=cos(2x)+isin(2x)
Entsprechend:
e-2ix=cos(2x)-isin(2x)

Demnach: e2ix+e-2ix2=cos(2x)

Übrigens: e2ix-e-2ix2=sin(2x)

Es wird also mitnichten nur e2ix zu cos(2x) umgewandelt.

Vielmehr beschreiben (e-2ix,e2ix) und (cos(2x),sin(2x)) über den gleichen Untervektorraum.

Was du offenbar noch nicht ganz verinnerlicht hast: Ein Fundamentalsystem ist EINE Basis des Lösungsvektorraumes.
Dahinter steckt vor allem, dass es sich um einen Vektorraum handelt. Insbesondere sind Linearkombinationen daraus wieder Elemente dieses Vektorraums.
Desweiteren kann man für solche Vektorräume eigentlich auch immer verschiedene Basen (= Fundamentalsysteme) angeben.

Was bei dir auch noch nicht so richtig zu sitzen scheint, ist der Umgang mit mehrfachen Nullstellen der char. Gleichung.
Kurz: Da ist Nacharbeit dringend empfohlen.

Welche Literatur hat der Prof. zu dem Thema nahegelegt? Ich würde mit der anfangen!

Mfg Michael
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.