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Komplexes Wegintegral berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Komplexe Analysis

Tags: Integration, Komplexe Analysis

JessieJ aktiv_icon

22:50 Uhr, 07.06.2015

"Berechnen Sie für die Funktion $f (z) = \frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 1}$

$\int_{γ 1} f (z) d z + \int_{γ 2} f (z) d z$

und

$\int_{γ 3} f (z) d z,$

wobei $γ_{1,2,3} : [0, 2 π] \to ℂ$

$γ_{1} (t) = - 1 + \frac{1}{2} \cdot$ exp(it),

$γ_{2} (t) = 1 + \frac{1}{2} \cdot$ exp(it),

$γ_{3} (t) =$ 4*exp(it)"

Die Formel für ein Wegintegral wäre $\int_{γ} f (z) d z = \int f (γ (z)) \cdot γ' (z) d z,$ also:

$\int_{γ_{1}} f (z) d z = \int_{0}^{2 π}$ 1/(0,5*exp(it)) $+$ 1/(-2+0,5*exp(it)) $\cdot$ (1/2)*i*exp(it) $d t$

Stimmt das soweit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

09:06 Uhr, 08.06.2015

Hallo

ist ein wenig schwer zu lesen, scheint aber zu stimmen.

Für die weitere Berechnung sollt Ihr wahrscheinlich benutzen: Komplexer Logarithmus, Satz von Cauchy oder Cauchy-Integralformel - ich würde auf letzteres tippen

Gruß pwm

JessieJ aktiv_icon

17:18 Uhr, 08.06.2015

Die Cauchy-Integralformel besagt, dass $f (a) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - a} d z$ .

Man kann das Integral vereinfachen:

$\int_{γ_{1}} f (z) d z = \frac{i}{2} * \int_{0}^{2 π} (\frac{e^{i t}}{0.5 * e^{i t}} + \frac{e^{i t}}{- 2 + 0.5 * e^{i t}} d t = \frac{i}{2} * (\int_{0}^{2 π} 2 d t) + \int_{0}^{2 π} \frac{e^{i t}}{- 2 + 0.5 * e^{i t}} d t$

,aber ich weiß nicht, wie man jetzt die Cauchy-Integralformel anwenden kann.

JessieJ aktiv_icon

20:40 Uhr, 08.06.2015

Wie kann ich da die Cauchy-Integralformel anwenden?

PhantomV aktiv_icon

02:15 Uhr, 09.06.2015

Hi,

was darfst du denn alles verwenden bzw. was kennst du?
Sagt dir vllt Homotopie etwas?

Gruß PhantomV

JessieJ aktiv_icon

02:41 Uhr, 09.06.2015

Ich glaube schon, dass wir die Cauchy-Integralformel anwenden sollen, ich verstehe nur nicht ganz, wie ich sie in diesem Kontext anwenden kann.

JessieJ aktiv_icon

04:58 Uhr, 09.06.2015

Und ja, Homotopie haben wir auch schon gemacht.

PhantomV aktiv_icon

16:17 Uhr, 09.06.2015

Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Integrale zu berechnen. Anschaulich sollte
dir klar sein was das Ergebnis sein muss, wenn dir bekannt ist was eine Windungszahl ist.
Mit der Cauchyschen Integralformel kann man hier so vorgehen:

Wir möchten $\int_{γ_{1}} \frac{1}{z - 1} d z$ berechnen. Wir definieren $g (z) = \frac{z + 1}{z - 1}$ .
Diese Funktion ist bspw. holomorph auf $B_{1} (- 1),$ insb. ist ${\bar{B}}_{\frac{1}{2}} (- 1) \subset B_{1} (- 1),$
also gilt mit der Cauchyschen Integralformel:
$2 π i \cdot g (z) = \int_{γ_{1}} \frac{g (ζ)}{ζ - z} d ζ$ für alle $z$ mit $| z - (- 1) | = | z + 1 | < \frac{1}{2}$

Für $z = - 1$ bedeutet das aber:
$0 = 2 π i \cdot g (- 1) = \int_{γ_{1}} \frac{g (ζ)}{ζ + 1} d ζ = \int_{γ_{1}} \frac{1}{ζ - 1} d ζ = \int_{γ_{1}} \frac{1}{z - 1} d z$

Analog ist das Vorgehen bei den anderen Integralen oder man kann sie sofort bestimmen.

Gruß,
PhantomV

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