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-Lizzy-

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10:03 Uhr, 10.01.2022

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Hallo,

es geht um den folgenden Satz aus unserem Skript:

"Selbst wenn U und N beider Untergruppen von G sind, braucht das Komplexprodukt UN im allgemeinen keine Untergruppe von G zu sein. Als Beispiel betrachten wir G=S3,U=<(12)> und N=<(13)>. Dann ist UN = {id, (12),(13),(132)}. Nach dem Satz von Lagrange kann diese vierelementige Teilmenge keine Untergruppe der sechselementigen Gruppe S3 sein."

Der Satz von Lagrange besagt: Sei G eine endliche Gruppe und U Untergruppe von G, dann gilt |G|=(G:U)|U|.
Also hier: |S3|=(S3: UN)|UN|
Der Index (S3: UN) gibt die Mächtigkeit der Menge der Linksnebenklassen an.


Verstehe ich das so richtig?:
G=S3
U=<(12)>= {id, (12)}
N=<(13)>= {id, (13)}
UN = {id, (12),(13),(12)(13)}= {id, (12),(13),(132)}, also |UN| =4

S3 ist eine endliche Gruppe. UN ist nach dem Satz von Lagrange Untergruppe von S3, wenn |S3|=(S3: UN)|UN| erfüllt ist.
(S3: UN) =|S3||U⋅N|=64=2

Linksnebenklassen:
id°UN = {id°id, id°(1 2), id°(1 3), id°(1 32)}= {id, (12),(13),(132)}
(1 2)°UN ={(1 2)°id, (1 2)°(1 2),(1 2)°(1 3),(1 2)°(1 32)}={(12),(12),(312),(321)}
(1 3)°UN ={(1 3)°id, (1 3)°(1 2),(1 3)°(1 3),(1 3)°(1 32)}={(13),(213),(13),(213)}
usw.
D.h. der Index (S3_ UN) ist ≥3, also ≠2
Also ist UN keine Untergruppe von S3.


Falls das so stimmt: Ich habe - aufgrund des Satzes aus dem Skript - den Eindruck, dass man es sehen kann ohne die Nebenklassen aufzuschreiben ... Geht das?

Viele Grüße!
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:52 Uhr, 14.01.2022

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Hallo,

zumindest könnte man sehen, dass 64=2 ziemlicher Unfug ist.

Mfg Michael
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