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Kompliziertere Aufgabe zur Binomialverteilung

Schüler

Tags: Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeistberechnung

Joshua2 aktiv_icon

12:52 Uhr, 27.03.2019

Hallo, im Anhang eine etwas kompliziertere Aufgabe zur Binomialverteilung mit Lösungen, die ich nicht alle nachvollziehen kann.

Die Lösung zu Aufgabe

a)

und

b)

ist mir klar.

Lösung zu Aufgabe

c)

ist mir zwar klar, doch wie bekomme ich das in den GTR ohne

20

Werte eingeben zu müssen?

Lösung zu Aufgabe

d) :

Der Term, wie er da aufgestellt ist, ist mir nicht ganz nachvollziehbar.
Der erste Teil sollte der Erwartungswert für 1 bis

180

Zimmer sein?

Doch was addieren die noch da hinzu? Eigentlich müsste doch der Erwartungswert für

181

bis

200

Zimmer mit der doppelten Summe abgezogen werden.
Stattdessen wird hinzuaddiert

(9000

–

k \cdot 50) \cdot P

für 1 bis

20

überbelegte Zimmer. ???

Mal abgesehen davon, dass das ganze auch viele einfacher mit dem Erwartungswerten n*p*gb zu rechen ist, was bedeutet der Term und wie bekomme ich das so in den GTR?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

pivot aktiv_icon

13:21 Uhr, 27.03.2019

Hallo.

Lösung zu Aufgabe c) ist mir zwar klar, doch wie bekomme ich das in den GTR ohne 20 Werte eingeben zu müssen?

Das hängt maßgeblich vom GTR den ihr verwenden dürft. Die entsprechende Gebrauchsanweisung kann man in der Regel googeln.

Bei d) kannst du bei dem zweiten Summenzeichen eine Indexverschiebung machen:

m = k + 180

Dann entsteht ein Term den du anscheinend so geschrieben hättest.

Gruß

pivot

Joshua2 aktiv_icon

13:40 Uhr, 27.03.2019

Danke, ich benutze einen Casio fx-CG

20

. In der Bedinungsanleitung steht nur, dass man für Ableitungen, etc. keine Summen bilden kann. Für Binomialverteilungen scheint es auch nicht zu gehen. Oder weiß da jemand was?

pivot aktiv_icon

13:59 Uhr, 27.03.2019

Ich habe folgenden Vorschlag: Frag dein Lehrer bzw. deine Lehrerin. Guter Vorschlag?

Joshua2 aktiv_icon

22:43 Uhr, 27.03.2019

Grundsätzlich istz Lehrer fragen eine gute Idee, aber leider kennen sich Lehrer auch nicht immer mit allem gut aus. Der Term in Aufgabe

d)

sollte übrigens nicht zur richtigen Lösung führen.

pivot aktiv_icon

22:48 Uhr, 27.03.2019

"Der Term in Aufgabe d) sollte übrigens nicht zur richtigen Lösung führen. "

Wieso nicht?

Joshua2 aktiv_icon

22:50 Uhr, 27.03.2019

Der Verlust sollte mehr als doppelt so hoch sein, wie im Term kalkuliert. Vielleicht kann ja jemand mal den Term durchrechnen oder mir sagen, wie ich das als Summe in den Casio GTR bekomme, es wird wohl nicht das angegebene Ergebnis raus kommen.

D . h

. jemand hat hier offensichtlich erst im Nachhinein die Rechnung verkompliziert und sich dabei auch noch vertan.

Roman-22

04:03 Uhr, 28.03.2019

>

Der Verlust sollte mehr als doppelt so hoch sein, wie im Term kalkuliert.
Was genau meinst du damit und woher nimmst du diese Weisheit?

>

es wird wohl nicht das angegebene Ergebnis raus kommen.
Warum nicht??

> D . h

. jemand hat hier offensichtlich erst im Nachhinein die Rechnung verkompliziert und sich dabei auch noch vertan.
Warum sollte da so etwas "offensichtlich" sein? Sind wir jetzt im Bereich der Verschwörungstheorien oder hast du einen vernünftigen Anhaltspunkt für diese Behauptung?

Im Folgenden die Berechnungen mit einem Mathe-Programm - vergleiche gern die Ergebnisse mit jenen aus deiner Lösung ;-)

Joshua2 aktiv_icon

10:17 Uhr, 28.03.2019

Inzwischen habe ich auch einen Methode gefunden, wie ich das in den GTR bekomme.

Das Ergebnis deckt sich mit dem Ergebnis meiner Rechnung, nur fragt sich warum.

Der erste Term sollte doch den Erwartungswert für die Einnahmen für 0 bis

180

vermietete Zimmer ergeben, liegt mit

4725,88

Euro aber sehr niedrig.

Den zweiten Term sollte man aufsplitten können, einmal in

2 a)

die Summe von

9000 \cdot

der Wahrscheinlichkeit für 1 bis

20

überbuchte Zimmer. Hier bekommt man

4189,85

Euro
Zusammen mit dem ersten Term also

8915,72

und nicht

9000

wie ich dachte. Fragt sich, warum werden hier Einnahmen für überbuchte Zimmer hinzuaddiert?

Davon abgezogen wird

2 b)

der Erwartungswert für die Entschädigung für 1 bis

20

Überbuchungen von

84,27

Euro macht insgesamt

8831,45

Euro, worauf ich nach anderer Rechnung

9000

–

168,55

auch komme.

Nimmt man den ersten Term 0 oder 1 bis

200

bekommt man wenig überraschend

9000

Nimmt man den Term

2 a) 0

oder 1 bis

200

erhält man auch wenig überraschend

9000

.

Nimmt man den ersten Term 0 oder 1 bis

180

erhält man

4725,88

Euro
Nimmt man den Term

2 a) 0

oder 1 bis

180

erhält man

4810,15

Euro

Wie erklärt sich die Differenz?

Roman-22

20:56 Uhr, 28.03.2019

Ich kann jetzt deinen Gedankengang nicht ganz nachvollziehen, aber du denkst offenbar zu kompliziert und es werden sicher nirgendwo in der Rechnung Einnahmen für überbuchte Zimmer als Gewinn addiert.
Im Grunde ist es ganz banal: Den Erwartungswert eines numerisch ausdrückbaren Ereignisses erhält man, in dem man für jeden möglichen Ausgang des Ereignisses seinen Wert mit seiner WKT multipliziert und diese Produkte alle aufsummiert.
Und genau das wird hier gemacht - für jeden möglichen Ausgang des Ereignisses (Anzahl

k

der Gäste die anreisen, also

k = 0

bis

200)

wird der für diese Anzahl lukrierte Gewinn mit der entsprechenden WKT multipliziert und alles aufsummiert. Allerdings ist die Berechnung des Gewinns wegen der Enschädigung für

k > 180

anders als für

k \leq 180,

weshalb die Gesamtsumme in zwei Teilsummen zu berechnen ist.
Für

k = 0

bis

180

ist es klar. Jeder Besucher bringt

50

€ Gewinn. Also werden für

k = 0

bis

180

die Produkte

k \cdot 50 \cdot B_{200; 0,9} (k)

addiert.
Sobald aber Überbuchung vorliegt, also für

k = 181

bis

200,

ändert sich das.
Nehmen wir als Beispiel

k = 185

180

Personen bekommen ein Zimmer und bringen daher

180 \cdot 50

€

= 9000

€ Gewinn. Aber 5 Personen

(k - 180)

müssen entschädigt werden, daher ist der Gesamtgewinn bei

k = 185

die Differenz

9000

€

- 5 \cdot 50

€

= 8750

€.
Für

k = 181

bis

200

müssen also die Terme

(9000 - (180 - k) \cdot 50) \cdot B_{200; 0,9} (k)

aufsummiert werden.
Insgesamt also

\sum_{k = 0}^{180} [k \cdot 50 \cdot B_{200; 0,9} (k)] + \sum_{k = 181}^{200} [(9000 - (k - 180) \cdot 50) \cdot B_{200; 0,9} (k)]

Die Musterlösung hat sich allerdings dafür entschieden, als Summenindex

k

für die zweite Summe nicht die Anzahl der angereisten Gäste zu nehmen, sondern nur die Anzahl der Gäste, die entschädigt werden müssen

(k - 180),

weshalb der zweite Term anders geschrieben wird:

\sum_{k = 0}^{180} [k \cdot 50 \cdot B_{200; 0,9} (k)] + \sum_{k = 1}^{20} [(9000 - k \cdot 50) \cdot B_{200; 0,9} (180 + k)]

Joshua2 aktiv_icon

09:03 Uhr, 29.03.2019

„Ich kann jetzt deinen Gedankengang nicht ganz nachvollziehen, aber du denkst offenbar zu kompliziert und es werden sicher nirgendwo in der Rechnung Einnahmen für überbuchte Zimmer als Gewinn addiert. „

Muss ja aber doch, denn bei 0 bis

180

Zimmern (Term 1 der Lösung zu

d))

fehlen noch die Einnahmen für

181

bis

200

Zimmer. Die müssen ja noch hinzuaddiert werden, wovon dann aber nur

180

vermietet werden können, weshalb dann für 1 bis

20

Zimmer der Betrag wieder abgezogen werden muss.

Soweit so unklar bleibt die Lösung.

Denn entweder hätte man den Summenterme aufstellen können

Summe(Erwartungswert*(

[

Startwert;Endwert];k;n;p))
k=Laufvartiable,

z . B

. 1 für 1 Zimmer oder

180

für

180

Zimmer

n =

Zahl der Zimmer, also

200

p =

Wahrscheinlichkeit für ein vermietetes Zimmer, also

0,9

Summe(9000*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(9000*([1;20];180+k;200;0,9))
- Summe(k*100*(

[

1;20];180+k;200;0,9))

oder

Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe((180+k)*50*([1;20];180+k;200;0,9))
- Summe(k*100*(

[

1;20];180+k;200;0,9))

es wurde aber aufgestellt:

Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(9000*([1;20];180+k;200;0,9))
- Summe(k*50*(

[

1;20];180+k;200;0,9))

und dann zusammengefasst zu

Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(9000

- k \cdot 50) \cdot ([1; 20]; 180 + k; 200; 0,9))

Dazu noch mal die Fragen:

Welche Bedeutung hat der Term Summe(9000*(

[

1;20];180+k;200;0,9),
den man ja auch so schreiben kann: Summe(9000*(

[

181;200];k;200;0,9)?

Und warum ist die Differenz der Summe(9000*(

[

0;180];k;200;0,9))

= 4810,15

und der Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

= 4725,88

genau der Betrag der den fehlenden Einnahmen entspricht?

Joshua2 aktiv_icon

10:35 Uhr, 01.04.2019

Also letzlich stellt sich die Frage, ob der Term Summe(9000*(

[

1;20];180+k;200;0,9) nur rein zufällig zur richtigen Lösung führt und deshalb so gewählt wurde oder ob er auch eine mathematische Bedeutung hat, und wenn ja, dann welche? Leider konnten auch die Mathelehrer, die ich gefragt habe, das bislang nicht beantworten. Gegen den Zufall spricht, dass auch bei anderen Wahrscheinlichkeiten die Rechnung funktioniert.

HAL9000

10:59 Uhr, 01.04.2019

Ich misch mich nicht ein, die Terme erneut zu erklären, was m.E. von Roman-22 nämlich sehr gut vorgenommen wurde (@Joshua: lies das einfach nochmal in Ruhe durch). Lediglich für seine am Ende hingeschriebene Summe habe ich eine Empfehlung für eine einfachere Berechnung: Wenn man die erste Summe "voll" macht (was natürlich hinten ausgeglichen werden muss), dann ergibt sich

\sum_{k = 0}^{180} [k \cdot 50 \cdot B_{200; 0.9} (k)] + \sum_{k = 181}^{200} [(9000 - (k - 180) \cdot 50) \cdot B_{200; 0.9} (k)]

= 50 \sum_{k = 0}^{200} [k \cdot B_{200; 0.9} (k)] + \sum_{k = 181}^{200} [(18000 - 100 k) \cdot B_{200; 0.9} (k)] = 9000 - 100 \sum_{k = 1}^{20} k \cdot B_{200; 0.9} (k + 180)

Kann man auch inhaltlich erklären: Man rechnet auch für die Buchungszahlen

k = 181

bis

200

zunächst so, als würden die alle jeweils ein Zimmer mit 50€ Einnahmen generieren. Für die überbuchte Zimmerzahl

k - 180

muss man dann aber jeweils 100€ abziehen.

Joshua2 aktiv_icon

11:58 Uhr, 01.04.2019

Inhaltlich ist mir das grundsätzlich nachvollziehbar, allerdings nicht der Term

9000 \cdot ([1; 20]; 180 + k; 200; 0,9)

. Ich hab das jetzt mal mit

37

Euro pro Zimmer und

73

Euro Entschädigung gerechnet.

Die Rechnung Summe(k*37*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(6660*([1;20];180+k;200;0,9))
- Summe(k*73*(

[

1;20];180+k;200;0,9)) führt zum richtigen Ergebnis

6474,60

Warum ergibt Summe(k*37*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(6660*([1;20];180+k;200;0,9)) den Erwartungswert für

200

vermietete Zimmer abzüglich den nicht zu vermietenden Zimmern?
Der Term
Summe(6660*(

[

1;20];180+k;200;0,9)) drückt ja kein Erwartungswert nach der Formel Summe Wert(i)

\cdot P (i)

oder Wert*n*p aus.

HAL9000

12:20 Uhr, 01.04.2019

> Warum ergibt Summe(k*37*([0;180];k;200;0,9)) + Summe(6660*([1;20];180+k;200;0,9)) den Erwartungswert für 200 vermietete Zimmer abzüglich den nicht zu vermietenden Zimmern?

Na für Zimmerzahl

0 \leq k \leq 180

sind die Einnahmen jeweils

37 k

und es fallen keine Strafzahlungen an, und für

180 < k \leq 200

sind alle 180 Zimmer belegt mit Einnahmen

37 \cdot 180 = 6660

, aber es fallen hier Strafzahlungen an, die dann im dritten (von dir hier nicht aufgeführten) Summenterm berücksichtigt werden.

> Der Term Summe(6660*([1;20];180+k;200;0,9)) drückt ja kein Erwartungswert nach der Formel Summe Wert(i) ·P(i) aus

Doch, das tut er in Kombination mit der Summe vorher: Das ist genau die Struktur

\sum_{i = 0}^{200} W e r t (i) \cdot P (i)

mit Binomialverteilten

P (i)

sowie Einnahme

W e r t (i)

bei

i

Leuten, die die Buchung wahrnehmen wollen.

P.S.: Mit ein Grund, warum so langsam auf deine Fragen eingegangen wird, ist deine grauenhafte Symbolik Summe(...), aus der z.B. nur per Erraten hervorgeht, dass du über Variable

k

summieren willst. :(

Joshua2 aktiv_icon

12:50 Uhr, 01.04.2019

Irgendwie klappt das mit dem Formeleditor leider nicht.
Ich nehme Summe( ....(

[

Startwert;Endwert];Variable;n;p))

>"Der Term Summe(6660*(

[

1;20];180+k;200;0,9)) drückt ja kein Erwartungswert nach der Formel Summe Wert(i)*

P (i)

aus"
>>"Doch, das tut er in Kombination mit der Summe vorher"

Das ist ja das, was ich vorher auch dachte und weshalb ich annahm, dass die Rechnung falsch sei.

Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(9000*([181;200];k;200;0,9))
macht

4725,88

Euro

+ 4189,85 = 8915,73

Summe(k*50*(

[

0;180];k;200;0,9))

+

Summe(k*50*([181;200];k;200;0,9))
macht

4725,88

Euro

+ 4274,12 = 9000

In der ersten Rechnung fehlt halt genau der Betrag der Einnahmen für Zimmer, die nicht vermietet werden können und die Frage ist warum?

Man kann dass ganze ja mal mit

190

Buchungen bei

147

Zimmern und

p = 0,8,

Zimmerpreis

53

Euro und Entschädigung

32

Euro durchrechnen, ob es da auch klappt

HAL9000

13:24 Uhr, 01.04.2019

> In der ersten Rechnung fehlt halt genau der Betrag der Einnahmen für Zimmer, die nicht vermietet werden können UND DIE FRAGE IST WARUM?

Warum? Na weil für die Leuteanzahl, die die 180 übersteigt keine Zimmer mehr da sind und somit auch keine weiteren Einnahmen über 180 Zimmer hinaus generiert werden!!! Was ist daran denn nicht zu verstehen: Du kannst nur die Zimmer vermieten, die auch da sind.

Irgendwie kann ich nicht nachvollziehen, in welcher Dauerschleife du da festhängst.

Joshua2 aktiv_icon

14:21 Uhr, 01.04.2019

Rechne das ganze doch mal mit

170; 190

und

200

Zimmern.

Für

147

Zimmer und

190

Buchungen bei einer Wahrscheinlichkeit von

0,8

und einem Zimmerpreis von

52

Euro sowie einer Entschädigung von

32

Euro klappt das ganze jedenfalls nicht mehr. Insgesamt sollte eine langfristig zu erwartende Einnahme von durchschnitlich

7436,40

Euro rauskommen. Erwartunswert für nicht gebuchte Zimmer sollte bei

5,566675

liegen.

HAL9000

16:50 Uhr, 01.04.2019

Deinen ewig ändernden Parametern mit dem dazu gehörenden Genöle, dass angeblich irgendwas dann "nicht mehr klappt" mache ich jetzt den Garaus, indem ich das ganze hinreichend allgemein betrachte:

n

Buchungen mit Ankunftswahrscheinlichkeit

p

, aber nur

m

Zimmer vorhanden (

m \leq n

). Außerdem Einnahmen

a

Euro pro vermieteten Zimmer sowie Strafzahlung

b

Euro für jedes überbuchte Zimmer. Dann ist wie gehabt

X \sim B (n, p)

die Anzahl der tatsächlich ankommenden Gäste sowie

g (k) = {\begin{array}{ll} k a & falls 0 \leq k \leq m \\ m a - (k - m) b & falls k > m \end{array}

der Gewinn bei genau

k

ankommenden Gästen. Der zufällige Gewinn ist nun

G = g (X)

, und dessen Erwartungswert ist

E (G) = \sum_{k = 0}^{n} g (k) B_{n, p} (k) = \sum_{k = 0}^{m} k a B_{n, p} (k) + \sum_{k = m + 1}^{n} (m a - (k - m) b) B_{n, p} (k)

= \sum_{k = 0}^{m} k a B_{n, p} (k) + \sum_{k = 1}^{n - m} (m a - k b) B_{n, p} (k + m)

.

Ganz egal, ob man das nun mit

a = b = 50, n = 200, p = 0.9, m = 180

mit Ergebniswert

E (G) = 8831.45

durchrechnet oder mit

a = 52, b = 32, n = 190, p = 0.8, m = 147

und dann

E (G) = 7436.40

, die Rechnung ist doch in Ordnung. Was verdammt nochmal stört dich daran?

P.S.: Mich hat daran nur "gestört" (wenn man das überhaupt so sagen kann), dass man das ganze zu

E (G) = a n p - (a + b) \sum_{k = 1}^{n - m} k B_{n, p} (k + m)

vereinfachen kann, s.o.

Joshua2 aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.04.2019

>

"Ganz egal, ob man das nun mit

a = b = 50, n = 200, p = 0.9, m = 180

mit Ergebniswert

> E (G) = 8831.45

durchrechnet oder mit

a = 52, b = 32, n = 190, p = 0.8, m = 147

und dann

> E (G) = 7436.40,

die Rechnung ist doch in Ordnung."

Nein, das ist leider nicht egal. Die Lösung aus der Aufgabe geht nur, wenn der Erwartungswert der vorhandenen Zimmerzahl entspricht. Sonst gibt es falsche Ergebnisse. Siehe:

a) 170

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro; Erwartungswert für Überbuchung

10,0208272

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

180,0208272

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

7997,91

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8489,75

Euro

b) 175

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro; Erwartungswert für Überbuchung

5,275356

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

180,275356

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8472,46

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8686,24

Euro

c) 180

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro; Erwartungswert für Überbuchung

1,68545

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

181,68545

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8831,45

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8831,45

Euro

d) 185

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

0,212014

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

190,005598504

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8978,80

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8955,56

Euro

e) 190

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro; Erwartungswert für Überbuchung

0,005598504

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

190,005598504

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8999,44

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8997,68

Euro

Hier noch mal die Rechnung der Lösungsformel aus der Aufgabe:

Summe

[

Startwert 0,Endwert

180] (k \cdot 50 \cdot (n \frac{!}{k! \cdot (n - k)!}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k})

+

Summe

[

Startwert 1,Endwert

20] (n \cdot p \cdot 50 \cdot (n \frac{!}{(180 + k)! \cdot (n - (180 + k)!)}) \cdot p^{180 + k} \cdot {(1 - p)}^{n - (180 + k)}

– Summe

[

Startwert 1,Endwert

20] (k \cdot 50 \cdot (n \frac{!}{(180 + k)! \cdot (n - (180 + k)!)}) \cdot p^{180 + k} \cdot {(1 - p)}^{n - (180 + k)}

n = 200

p = 0,9

Summe

[

Startwert 1,Endwert

20] (n \cdot p \cdot 50 \cdot (n \frac{!}{(180 + k)! \cdot (n - (180 + k)!)}) \cdot p^{180 + k} \cdot {(1 - p)}^{n - (180 + k)}

ist jedenfalls kein normaler Erwartunswert

HAL9000

21:56 Uhr, 01.04.2019

Zumindest bei a),b) bekomme ich mit meiner Formel genau die Werte heraus, die du jeweils in der ersten Zeile bei "Erwartungswert für Einnahmen" hingeschrieben hast.
Die Auffassung, dass diese Berechnungen nur richtig sind, wenn

m = n p

gilt, ist einfach falsch.

Was du da jeweils in der zweiten Zeile schreibst mit dem Zusatz "mit Lösungsformel" ist mir ein Rätsel. Und du meinst also, diese Werte sind die richtigen? Da bin ich halt anderer Meinung.

Joshua2 aktiv_icon

22:02 Uhr, 01.04.2019

Dann sind wir uns ja einig. Mit Lösungsformel meine ich die Lösung aus dem Mathebuch für die Aufgabe. Und die geht offensichtlich nur, wenn der Erwartunswert der vorhandenen Zimmerzahl entspricht. Deine Lösung wird wohl auch für andere Fälle zutreffen.

Warum die Lösungsformel aus dem Mathebuch in speziellen Fällen funktioniert, ist aber immer noch offen.

HAL9000

22:07 Uhr, 01.04.2019

> Deine Lösung wird wohl auch für andere Fälle zutreffen.

Dein erstes vernünftiges Wort hier im Thread, nachdem du die letzten Stunden ständig den Eindruck erweckt hattest, als wären die Formeln von Roman-22 und mir falsch gewesen. Na dann, gute Nacht, war ziemlich ermüdend dein Bombardement mit letztlich sinnlos vielen Beispielen.

Joshua2 aktiv_icon

22:09 Uhr, 01.04.2019

Mir ging es immer nur um die Lösung aus dem Buch und warum diese wieder mein Erwarten in speziellen Fällen funktioniert. Wie gesagt, dass ist ja immer noch offen.

Joshua2 aktiv_icon

23:16 Uhr, 01.04.2019

Ich hab jetzt noch mal mit statt mit dem Erwartungswert mit den möglichen Einnahmen für vermietbare Zimmer gerechnet. Nun ergibt sich mit der im Mathebuch verwendeten Lösungsformel der Wert, der sich zuvor ohne Formel für den Erwartungswert

180

Zimmer ergeben hat. Entspricht der Erwartungswert den verfügbaren Zimmern, kommt das gleich raus. Vieleicht kann ja jemand mal erklären, warum das so ist.

a) 170

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

10,0208272

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

180,0208272

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

7497,91

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

7997,91

Euro

zum Vergleich bei EW

180

Zimmer
Erwartungswert für Einnahmen

7997,91

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8489,75

Euro

b) 175

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

5,275356

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

180,275356

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8222,46

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8472,46

Euro

zum Vergleich bei EW

180

Zimmer
Erwartungswert für Einnahmen

8472,46

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8686,24

Euro

c) 180

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

1,68545

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

181,68545

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

8831,45

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8831,45

Euro

d) 185

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

0,212014

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

185,212014

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

9228,80

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8978,80

Euro

zum Vergleich bei EW

180

Zimmer:
Erwartungswert für Einnahmen

8978,80

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8955,56

Euro

e) 190

Zimmer

200

Buchungen;

50

Euro pro Zimmer; Entschädigung bei Überbuchung

50

Euro;
Erwartungswert für Überbuchung

0,005598504

Zimmer
Erwartungswert nachgefragte Zimmer

180 +

Überbuchung

190,005598504

Zimmer

Erwartungswert für Einnahmen

9499,44

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8999,44

Euro

zum Vergleich bei EW

180

Zimmer:
Erwartungswert für Einnahmen

8999,44

Euro
Erwartungswert für Einnahmen bei Rechnung mit Lösungsformel

8997,68

Euro

Bei den Zimmerzahlen über dem Erwartungswert müsste man wohl noch die nicht vermieteten Zimmer abziehen um auf ein mathematisch korrektes Ergebnis zu kommen.

HAL9000

09:50 Uhr, 02.04.2019

Vielleicht nennst du ja einfach mal die ALLGEMEINE (!) Formel aus deinem Buch für gegebene

a, b, m, n, p

, so wie ich es oben mit

E (G) = \sum_{k = 0}^{m} k a B_{n, p} (k) + \sum_{k = 1}^{n - m} (m a - k b) B_{n, p} (k + m) = a n p - (a + b) \sum_{k = 1}^{n - m} k B_{n, p} (k + m)

getan habe - dann reden wir weiter. Ich hab nicht die mindeste Lust, mir aus deinen zig Beispielen diese ominöse Formel nach und nach zusammenzurätseln.

Joshua2 aktiv_icon

10:12 Uhr, 02.04.2019

Rechne das ganze mal mit

170

Zimmern, bei

50

Euro Miete und

50

Euro Entschädigung. Nun kommt zwar das gleiche bei beiden Teilen deiner Formel raus, doch im ersten Teil rechnest du mit

170

Zimmern und im zweiten Teil mit einem Erwartungswert von

180

vermieteten Zimmern.

180

Zimmer können aber gar nicht vermietet werden. Die Rechnung kann daher wohl nicht stimmen. Daher kann auch der erste Teil, der der Lösungsformel im Mathebuch entspricht hier nicht stimmen.

Und selbt wenn

180

Zimmer vermietet werden könne, fragt sich ob die Formel richtig ist. Denn es werden ja auch mal weniger Zimmer vermietet. Ergo müsste man wohl aufgrund der Symetrie nach mal den Erwartunswert für Überbuchte Zimmer als Einnahmeverlust berücksichtigen. Also

180 \cdot 50 -

3*50*Summe(180+k;n=200;p=0,9;Startwert

1;

Endwert

20)

HAL9000

10:32 Uhr, 02.04.2019

Es war ein Versuch dir zu helfen, warum deine Formel (d.h. die aus dem Buch) nicht klappt. Da du dich aber weigerst, diese Formel überhaupt mal zu nennen und es stattdessen vorziehst, dich weiter im Kreise zu drehen, springe ich vom Karussell ab - das ist mir echt zu blöd.

Joshua2 aktiv_icon

10:40 Uhr, 02.04.2019

Sorry, mir wird es jetzt auch zu blöd. Die Formel kann für

170

Zimmer nicht stimmen, da keine

180

Zimmer vermietet werden können. Und wie gesagt, selbst für

180

Zimmer kann sie wohl nicht stimmen, da ja auch mal weniger als

180

Zimmer vermietet werden. Ergo müsste wohl aufgrund der Symetrie nach mal den Erwartunswert für Überbuchte Zimmer als Einnahmeverlust berücksichtigen. Also 180⋅50− 3*50*Summe(180+k;n=200;p=0,9;Startwert

1;

Endwert

20)

HAL9000

10:45 Uhr, 02.04.2019

Du jammerst jetzt seit gefühlten hundert Beiträgen rum, dass du gern erklärt haben willst, warum die Formel aus dem Buch nicht immer klappt, rechnest Beispiele über Beispiele mit dieser Formel durch, nennst hier die dabei erhaltenen Ergebnisse ABER NICHT DIE FORMEL AN SICH und erwartest, dass wir dir erklären sollen, warum die Formel manchmal klappt und manchmal nicht? Hört sich nach einer gigantischen Verarsche an. NENNE ENDLICH DIESE ALLGEMEINE FORMEL, verdammt nochmal! Warum bist du so verstockt und vernagelt, dass du lieber hunderte Sinnlosbeiträge verfasst statt dem einen, der hier die Sache wirklich mal voranbringen würde? Und frag dich mal, warum sich alle anderen inzwischen komplett ausgeklinkt haben...

Joshua2 aktiv_icon

10:58 Uhr, 02.04.2019

Meine bislang verwandte Rechnung entsprach dem, was du hinter dem Gleichheitszeichen als Formel geschieben hast, wobei ich einmal mit dem Erwartungswert

n \cdot p

gerechnet habe und einmal mit der Anzahl der vermietbaren Zimmer. Nun bin ich aber zur Überlegung gekommen, dass beides nicht korrekt ist, da dies nicht berücksichtigt, dass ja auch vermietbarte Zimmer mal nicht vermietet werden. Das müsste man also noch ausrechnen. Aufgrund der Symetrie sollte für

180

vermietbare Zimmer bei

200

Buchungen Zimmerpreis

50

Euro und Entschädigung

50

Euro und

p = 0,9

gelten:

180⋅50 − 3*50*Summe

[

Startwert

1;

Endwert

20] [k \cdot (180 + k; n = 200; p = 0,9)] = 8747,18

HAL9000

11:16 Uhr, 02.04.2019

Ich kann nur nochmal ausführlicher erläutern, warum meine Formel von oben richtig ist (obwohl ich das in dem Beitrag 1.4.19, 16:50 schon getan hatte):

Der Erwartungswert für den Gewinn ergibt sich gemäß üblicher Erwartungswertformel

\sum_{k = 0}^{n} g (k) B_{n, p} (k)

mit den Wahrscheinlichkeiten

B_{n, p} (k)

der hier vorliegenden Binomialverteilung und dem Gewinnwert

g (k)

für genau

k

ankommenden Gäste. Und dieser Gewinnwert setzt sich so zusammen:

i) Im Fall

0 \leq k \leq m

können alle ankommenden Gäste versorgt werden, es werden also genau

k

Zimmer vermietet, was Einnahmen

k a

bringt sowie keine Strafzahlungen, das ergibt

g (k) = k a - 0 = k a

.

ii) Im Fall

m < k \leq n

können nur

m

der ankommenden Gäste ein Zimmer bekommen, die anderen

k - m

müssen wieder fortgeschickt werden. Es werden damit alle

m

verfügbaren Zimmer vermietet, was Einnahmen

m a

bringt, außerdem fallen Strafzahlungen in Höhe

(k - m) b

an, welche natürlich NEGATIV in den Gewinn einfließen, das ergibt insgesamt

g (k) = m a - (k - m) b

.

Was die in dem Buch anstellen, um auf irgendeine Formel zu kommen, bleibt dann wohl ungeklärt, da du es nicht verraten willst - zumindest nicht im allgemeinen Fall.

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11:23 Uhr, 02.04.2019

Fehlt nur noch Fall iii)

HAL9000

11:24 Uhr, 02.04.2019

Es gibt kein iii). Die Fallunterscheidung bzgl.

k

in i) und ii) ist vollständig.

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11:35 Uhr, 02.04.2019

In dem Fall für

180

Zimmer stimmts es wohl, dass beim Erwartunswert für Einnahmen für

200

Zimmer auch die berücksichtig werden, die weniger als

180

sind. Also man doch nur 180*50-(Fehlende Einnahmen für Überbuchungen

+

Entschädigung) rechnen muss. Aber wie gesagt, Teil Eins deiner Gleichung rechnet bei

170

Zimmern mit

170

Zimmern und dannach Teil 2 deiner Rechnung rechnet auch bei

170

Zimmern mit

180

Zimmern. Und das kann nicht stimmen, daher kann auch Teil 1 für eine Zimmeranzahl ungleich

180

Zimmern nicht stimmen. Die Frage ist, wie man korrekt für

170

Zimmer rechnen soll. Den Erwartungswert für

200

Zimmer nehmen, aber dann noch mal

10

Zimmer abziehen? Obwohl man zieht ja den Erwartunswert für die überbuchten Zimmer ab. Insofern sollte es doch stimmen mit dem Erwartungswert für

200

Zimmer zu rechnen.

HAL9000

11:43 Uhr, 02.04.2019

Du lenkst schon wieder ab, komm bitte auf den Punkt. Auch im Fall

n = 200, m = 170, p = 0.9

stimmt diese Fallunterscheidung

i)

0 \leq k \leq 170

: Alle Gäste werden versorgt.

ii)

170 < k \leq 200

: Das Hotel ist voll und es gibt Überbuchungen mit dann fälligen Strafzahlungen.

Ist prinzipiell auch nicht anders als mit

m = 180

. Was also soll angeblich fehlen, was ist dieser mysteriöse Fall iii) ???

> und dannach Teil 2 deiner Rechnung rechnet auch bei 170 Zimmern mit 180 Zimmern.

So ein Unfug - nirgendwo wird da mit 180 Zimmern gerechnet. Eine blühende Phantasie hast du, halte dich mal lieber an die realen Formeln und Erklärungen.

Joshua2 aktiv_icon

11:53 Uhr, 02.04.2019

Habe ich gerade oben noch ergänzt. Bleibt halt dennoch festzustellen, dass Teil eins der Formel nur funktioniert, wenn dort mit den vorhandenen Zimmer gerechnet wird, während im nachvollziehbaren Teil 2 mit dem Erwartungswert gerechnet werden muss.

Insofern wird also nicht gerechnet, wie zunächst angenommen:
Summe der zu erwartenden Einnahmen für 0 bis Zimmerzahl

+

Summe

[

Startwert 1,Endwert 20](n⋅p⋅50⋅(n!(180+k)!⋅(n−(180+k)!))⋅p^180+k⋅(1−p)^n−(180+k))
-Summe für Überbuchungen

Sondern mit:
Summe der zu erwartenden Einnahmen für 0 bis Zimmerzahl

+

Summe

[

Startwert 1,Endwert 20](Zimmerzahl⋅50⋅(n!180+k)!⋅(n−(180+k)!))⋅p^180+k⋅(1−p)^n−(180+k))
-Summe für Überbuchungen

Warum da dann das richtige rauskommt ist mir immer noch ein Rätzel, das du auch in deiner Gleichnung nicht durch Umformung gelöst hast.

Also warum wird die maximal mögliche Einnahme genommen und mit dem Erwartungswert für überbuchte Zimmer summiert?

HAL9000

12:05 Uhr, 02.04.2019

Sag mir bitte klipp und klar, was du an meinen Ausführungen 1.4.19, 16:50 sowie gerade eben 2.4.19, 11:16 für falsch hältst bzw. "unzureichend" (weil ein Fall fehlt o.ä.) ?

Ich verstehe nämlich deine Renitenz nicht. Ich hab mir solche Mühe gegeben, alles aufzubereiten, aber du ignorierst die Erklärungen weitgehend und unterstellst mir stattdessen unbegründet solche Sachen wie

> und dannach Teil 2 deiner Rechnung rechnet auch bei 170 Zimmern mit 180 Zimmern.

was ich wirklich ziemlich ärgerlich finde. Oder es wird von einem Fall iii) orakelt, und wenn man da nachhakt: Nichts, nur heiße Luft, und weitere Ablenkungen.

> Bleibt halt dennoch festzustellen, dass Teil eins der Formel nur funktioniert, wenn dort mit den Einnahmen für die tatsächliche vorhandenen Zimmer gerechnet wird

Ja klar, was denn sonst? Und wird doch auch getan, denn im Fall

0 \leq k \leq m

können ja alle Ankommenden mit Zimmern versorgt werden.

> während in Teil 2 mit dem Erwartungswert gerechnet werden muss.

Ziemlicher Unsinn, nur in Teil 2 einen "Erwartungswert" zu sehen. Die Gesamtsumme von

k = 0

bis

n

bildet den Erwartungswert, nicht nur der Teil von

k = m + 1

bis

n

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12:24 Uhr, 02.04.2019

Teil 2 deiner Formel ist soweit klar, damit habe ich auch gerechnet. Das da die Buchungen als Erwartungswert verwendet werden, ist offensichtlich. Insgesamt ergibt das ja auch einen Erwartungswert.

Teil 1 deiner Formel, also der Lösungsweg aus dem Mathebuch bleibt hingegen nicht nachvollziehbar und verfolgt einen anderen Ansatz.

Er besteht aus

1. Zu erwartenden Einnhamen für 0 bis

180

Zimmer
2. zuzüglich Summe(Maximal mögliche Einnahmen*Wahrscheinlichkeit jeweils pro überbuchten Zimmer)
3. abzüglich der Summe für Entschädigungen bei Überbuchung

Soweit so unklar bleibt dieser Lösungsweg

Wenn eine Überbuchung vorliegt, dann ist zwar sicher immer die maximale Einnahme vorhanden, doch von der muss ja der Teil der Überbuchung jeweils noch abgezogen werden. Man braucht also die kumulierte Wahrscheinlichkeit für Überbuchung jeweils mulitipliziert mit den maximalen Einnahmen abzüglich der fehlenden Einnahmen wegen der Überbuchungen. Daraus sollte dann die Summe(Maximal mögliche Einnahmen*Wahrscheinlichkeit jeweils pro überbuchten Zimmer) herzuleiten sein.

HAL9000

12:29 Uhr, 02.04.2019

> 1. Zu erwartenden Einnhamen für 0 bis 180 Zimmer
Ich würde es eher zu erwartenden Einnhamen für 0 bis 180 ankommende Gäste nennen.

> 2. zuzüglich Summe(Maximal mögliche Einnahmen*Wahrscheinlichkeit jeweils pro Überbuchten Zimmer)
> 3. abzüglich der Summe für Entschädigungen bei Überbuchung
Das habe ich in ii) zusammengefasst: Anteil

m a

sind die Einnahmen für alle

m

Zimmer, und

- (k - m) b

umfasst die Strafzahlungen für die

k - m

Gäste, die nicht untergebracht werden und wieder weggeschickt werden müssen.

Es ist also alles das - WORÜBER BESCHWERST DU DICH???

Joshua2 aktiv_icon

12:38 Uhr, 02.04.2019

Ich beschwere mich nicht, es geht mir nur um die Nachvollziehbarkeit. Ich habe zwei Mathelehrer gefragt, die den Lösungsweg aus dem Buch nicht verstanden haben, und wenn hier jemand den Lösungsweg aus dem Buch verstanden haben sollte, dann hat er es nicht erklärt. Das Missverständnis resultierte daraus, dass beim Lösungsweg im Mathebuch die maximal möglichen Einnahmen mit dem Erwartungswert zu verwechseln sind. Ohne die Diskussion hier wären wir wohl nicht drauf gekommen.

HAL9000

13:20 Uhr, 02.04.2019

Ich sehe es mit als ein Hauptproblem, dass du ständig zwei an sich deutlich trennbare Bereiche miteinander verwurstelst (u.a. durch die häufige Verwendung des Begriffs "Erwartungswert" an völlig unpassenden Stellen):

1) Den Zufall, der über die binomialverteilte Zufallsgröße

X \sim B (n, p)

die Anzahl der ankommenden Gäste auswürfelst.

2) Den Gewinn

g (k)

bei FESTER Anzahl

k

ankommender Gäste.

Beides kann man voneinander trennen und dann erst bei der Schlussrechnung zum Erwartungswert

E (G) = E (g (X)) = \sum_{k = 0}^{n} g (k) P (X = k)

zusammenführen. Genau das habe ich oben getan, und das ist eine saubere und klar strukturierte Herangehensweise. Leider scheinen das nicht alle so zu sehen.

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