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Komponenten eines Vektors bzgl. Basis bestimmen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Komponenten, Vektorraum

Garfield05

21:36 Uhr, 29.03.2010

hallo,

es geht darum, die komponenten des vektors v = (1, 3, 0) bzgl. der basis B = {(1;0;0),(1;1;0),(1;1;1)} zu bestimmen.

ich bin mir auch leider nicht im klaren, was diese basis darstellt.

ich wäre über eine erklärung dieser aufgabe sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Rabanus aktiv_icon

22:22 Uhr, 29.03.2010

Hey,

die Vektoren der Basis $B = (\begin{matrix} \vec{b_{1}} \\ \vec{b_{2}} \\ \vec{b_{3}} \end{matrix})$ bilden ein (schiefwinkliges) KO-System.

Bilde die Einheitsvektoren $\vec{b_{1}^{0}}, \vec{b_{2}^{0}}, \vec{b_{3}^{0}}!$

Die Komponenten des gegebenen Vektors $\vec{v}$ in den neuen Richtungen ergibt sich dann durch skalare Multiplikation.

Servus

ermanus aktiv_icon

00:26 Uhr, 30.03.2010

Hallo Garfield05,
es ist doch (durch intensives Hingucken offensichtlich):

$(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = - 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}),$
also ist die Komponentendarstellung von $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ bzgl. der
angegebenen Basis:

$(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) .$

Gruß Hermann

ahmedhos aktiv_icon

01:01 Uhr, 30.03.2010

bezüglich der kanonischen Basis $e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $e_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ läßt sich der Vektor $((1), (3), (0)$ so darstellen:
$\Rightarrow {(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}_{e} = 1 \cdot e_{1} + 3 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}$
Bezüglich der Basis $v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $v_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$
hat der Vektor $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ folgende Darstellung:
${(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}_{v} = α \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + β \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + γ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$
$\Rightarrow$
I) $1 = α + β + γ$
II) $3 = β + γ$
III) $0 = γ$

Löse die Gleichungen von unten nach oben $\Rightarrow γ = 0, β = 3$ und $α = - 2$
$\Rightarrow {(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}_{v} = - 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$

Das heißt genausoviel wie:

Wenn du den Vektor $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ in kartesischen Koordinaten zeichnen willst, dann mußt du eine Einheit in richtung $e_{1}$ gehen, drei Einheiten in Richtung $e_{2}$ und vom Ursprung aus zeichnst deinen Vektor.

Falls du die Basis $v$ wählst dann heißt der selbe Vektor nicht mehr $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ sondern $(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$

Ziel ist es, daß du weißt, das ein Vektor sich als "Linear Kombination" der Basisvektoren darstellen läßt.

Garfield05

15:45 Uhr, 31.03.2010

Vielen, vielen Dank für die zahlreichen antworten

eigentlich ja nicht so schwer... wie ich dann immer später sehe

Danke

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